1. Перепишите векторы AC, BC и AB (M и N - центры сторон треугольника ABC) в терминах векторов e1 и e2. 2. Точки M

Для решения этой задачи введем векторы \(e_1\) и \(e_2\), которые будут соответствовать базису, в котором мы будем переписывать векторы.

1. Перепишем векторы \(AC\), \(BC\) и \(AB\) через \(e_1\) и \(e_2\):

Вспомним, что вектором называется направленный отрезок, для которого важны его длина и направление. Векторы \(AC\), \(BC\) и \(AB\) могут быть записаны через векторы \(AM\) и \(CM\), так как \(AC = AM - CM\) и \(BC = BM - CM\). Также введем вектор \(BC\) и разложим его на составляющие параллельные и перпендикулярные сторонам треугольника ABC.

Разложим векторы \(AM\) и \(CM\) на составляющие вдоль сторон треугольника ABC:

\[AM = \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}AC\]
\[CM = \frac{1}{2}BC + \frac{1}{2}AC\]

Теперь выразим векторы \(AB\), \(AC\) и \(BC\):
\[
\begin{align*}
AB & = 2 \cdot AM - AC \\
AC & = 2 \cdot CM - BC \\
BC & = 2 \cdot CM - AC \\
\end{align*}
\]

Таким образом, векторы \(AB\), \(AC\) и \(BC\) в терминах \(e_1\) и \(e_2\) будут:

\[
\begin{align*}
AB & = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}AC\right) - AC \\
AC & = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}BC + \frac{1}{2}AC\right) - BC \\
BC & = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}BC + \frac{1}{2}AC\right) - AC \\
\end{align*}
\]

2. Выразим вектор \(OM - ON\) через векторы:

Для начала, выразим вектор \(OM\) через \(e_1\) и \(e_2\) следующим образом:

\[OM = \frac{1}{2}OA + \frac{1}{2}OB\]

Аналогично, выразим вектор \(ON\) через \(e_1\) и \(e_2\):

\[ON = \frac{1}{2}OC + \frac{1}{2}OD\]

Теперь найдем разность векторов \(OM - ON\):

\[
\begin{align*}
OM - ON & = \left(\frac{1}{2}OA + \frac{1}{2}OB\right) - \left(\frac{1}{2}OC + \frac{1}{2}OD\right) \\
& = \frac{1}{2}(OA + OB - OC - OD) \\
& = \frac{1}{2}((OA - OC) + (OB - OD))
\end{align*}
\]

Таким образом, вектор \(OM - ON\) в терминах \(e_1\) и \(e_2\) будет:

\[OM - ON = \frac{1}{2}((OA - OC) + (OB - OD))\]

Это и есть выражение вектора \(OM - ON\) через векторы \(OA\), \(OB\), \(OC\) и \(OD\) в терминах \(e_1\) и \(e_2\).

Надеюсь, данное пояснение помогло вам понять решение задачи! Если у вас возникнут еще вопросы - не стесняйтесь и задавайте!