1. Перепишите уравнение: 1) Какое значение переменной x делает синус (8x - π/3) равным 0? 2) Какое значение переменной

1) Давайте посмотрим на каждую задачу по отдельности:

1) Нам дано уравнение \( \sin(8x - \frac{\pi}{3}) = 0\). Чтобы найти значение переменной x, которое делает синус равным нулю, нам нужно найти угол, у которого синус равен 0.

Синус равен 0 на углах, кратных \(\pi\), то есть:

\[8x - \frac{\pi}{3} = n\pi\]

где n - целое число. Решим это уравнение относительно x:

\[8x = n\pi + \frac{\pi}{3}\]
\[x = \frac{n\pi + \frac{\pi}{3}}{8}\]

Здесь n может быть любым целым числом.

2) Для уравнения \( \cos(\frac{x}{6} + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), мы хотим найти значение переменной x, при котором косинус равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Мы знаем, что косинус равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) на углах \(\frac{\pi}{4}\) и \(\frac{7\pi}{4}\), а также на углах, которые находятся на таких же дополнительных расстояниях от этих точек, что и угол \(\frac{x}{6}\).

То есть:

\[\frac{x}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2n\pi\]
или
\[\frac{x}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2n\pi\]

решаем эти уравнения, чтобы найти значение x:

\[\frac{x}{6} = 2n\pi\]
или
\[\frac{x}{6} = \frac{6\pi}{4} + 2n\pi\]

Далее, решим данные уравнения относительно x:

\[x = 12n\pi\]
или
\[x = 12\pi + 48n\pi\]

Здесь n может быть любым целым числом.

3) Нам задано уравнение \( \tan^2(4x) + \tan(4x) = 0\). Чтобы найти значение переменной x, мы хотим, чтобы тангенс квадрата 4x плюс тангенс 4x был равен нулю.

Воспользуемся фактом, что тангенс равен 0 на углах кратных \(\pi\), так как \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\).

Уравнение примет вид:

\[\tan^2(4x) + \tan(4x) = \tan(4x)(\tan(4x) + 1) = 0\]

Два возможных случая:

\[\tan(4x) = 0\]
\(4x\) должно быть кратно \(\pi\), поэтому:
\[4x = n\pi\]
\[x = \frac{n\pi}{4}\]
\(n\) может быть любым целым числом.

или

\[\tan(4x) + 1 = 0\]
Это уравнение не имеет решений.

2) Перепишем неравенства:

1) Нам дано неравенство \( \cos(\frac{x}{7}) \leq \frac{1}{2}\). Наша задача - найти значения переменной \(x\), для которых косинус будет меньше или равен \(\frac{1}{2}\).

Мы знаем, что косинус меньше или равен \(\frac{1}{2}\) на углах \(\frac{\pi}{3}\) и \(\frac{5\pi}{3}\), а также на углах, которые находятся на таком же удалении от этих точек, что и угол \(\frac{x}{7}\).

То есть:

\[\frac{x}{7} = \frac{\pi}{3} + 2n\pi\]
или
\[\frac{x}{7} = \frac{5\pi}{3} + 2n\pi\]

Решив эти уравнения, найдем значение x:

\[x = 7(\frac{\pi}{3} + 2n\pi)\]
или
\[x = 7(\frac{5\pi}{3} + 2n\pi)\]

Где n может быть любым целым числом.

2) Нам дано неравенство \(\cot(7x + \frac{2\pi}{3}) > \frac{\sqrt{3}}{3}\). Наша задача - найти значения переменной \(x\), при которых котангенс будет больше, чем \(\frac{\sqrt{3}}{3}\).

Мы знаем, что котангенс больше, чем \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) на углах, которые находятся на расстоянии \(\frac{\pi}{6}\) от углов, на которых котангенс равен 0.

То есть:

\[7x + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + n\pi\]

решаем уравнение относительно x:

\[7x = \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{3} + n\pi\]
\[x = \frac{\pi}{42} - \frac{4\pi}{21} + \frac{n\pi}{7}\]

Здесь n может быть любым целым числом.

3) Ну, теперь перейдем к следующей части:

1) У нас есть уравнение \(4\cos^2(x) + 4\sin(x) - 1 = 0\). Мы хотим найти значение переменной \(x\), которое делает это уравнение равным 0.

Для начала, заменим \(\cos^2(x)\) на \(1 - \sin^2(x)\):

\[4(1 - \sin^2(x)) + 4\sin(x) - 1 = 0\]
\[4 - 4\sin^2(x) + 4\sin(x) - 1 = 0\]
\[4\sin^2(x) - 4\sin(x) + 3 = 0\]

Решим это уравнение относительно \(\sin(x)\):

\[\sin(x) = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 48}}{8}\]
\[\sin(x) = \frac{4 \pm \sqrt{-32}}{8}\]

Поскольку у нас отрицательное значение под корнем, это означает, что уравнение не имеет решений.

2) Для уравнения \(3\sin^2(3x) - 2.5\sin(6x) + 1 = 0\), мы хотим найти значение переменной \(x\), которое делает уравнение равным 0.

Это уравнение может быть сложным для решения в общем случае. Чтобы найти решение, вам понадобится использовать численные методы или компьютерное программное обеспечение.

Надеюсь, это поможет вам с решением данных уравнений и неравенств. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать. Я готов помочь вам!