1. Переформулируйте в виде многочлена следующие выражения: а) (c-6)^2. б) (5 - a)(5 + a). в) (2a-3b)^2. г

1а) Чтобы переформулировать выражение \((c-6)^2\) в виде многочлена, нужно возвести разность \(c-6\) в квадрат. Это можно сделать, умножив разность на себя:
\((c-6)^2 = (c-6)(c-6)\).
Раскрывая скобки, получим:
\((c-6)^2 = c \cdot c + c \cdot (-6) + (-6) \cdot c + (-6) \cdot (-6)\).
Упрощая этот многочлен, получим:
\((c-6)^2 = c^2 - 6c - 6c + 36\).
Таким образом, переформулированное выражение будет равно \(c^2 - 12c + 36\).

1б) Для переформулирования выражения \((5 - a)(5 + a)\) в виде многочлена, мы можем использовать формулу разности квадратов: \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).
Применяя эту формулу к нашему выражению, получим:
\((5 - a)(5 + a) = 5^2 - a^2\).
Упрощая, получим:
\((5 - a)(5 + a) = 25 - a^2\).

1в) Выражение \((2a-3b)^2\) можно переформулировать в виде многочлена, возводя разность \(2a-3b\) в квадрат:
\((2a-3b)^2 = (2a-3b)(2a-3b)\).
Раскрывая скобки, получим:
\((2a-3b)^2 = 2a \cdot 2a + 2a \cdot (-3b) + (-3b) \cdot 2a + (-3b) \cdot (-3b)\).
Упрощая, получим:
\((2a-3b)^2 = 4a^2 - 12ab + 9b^2\).

1г) Для переформулирования выражения \((7x + 10y)(10y - 7x)\) в виде многочлена, можно применить формулу разности квадратов:
\((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).
Применяя эту формулу, получим:
\((7x + 10y)(10y - 7x) = (7x)^2 - (10y)^2\).
Упрощая, получим:
\((7x + 10y)(10y - 7x) = 49x^2 - 100y^2\).

2а) Чтобы разложить выражение \(b^2 - 49\) на множители, мы можем применить формулу разности квадратов:
\(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\).
Применяя эту формулу, получим:
\(b^2 - 49 = (b+7)(b-7)\).

2б) Выражение \(100 - 9x^2\) можно также разложить на множители с помощью формулы разности квадратов:
\(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\).
Применяя эту формулу, получим:
\(100 - 9x^2 = (10+3x)(10-3x)\).

2в) Чтобы разложить выражение \(c^2 - 8c + 16\) на множители, мы должны найти два числа, которые при умножении дают 16, а при сложении дают -8. Эти числа -4 и -4.
Таким образом, выражение можно разложить на множители следующим образом:
\(c^2 - 8c + 16 = (c-4)(c-4)\) или \((c-4)^2\).

2г) Выражение \(4a^2 + 20ab + 25b^2\) уже является полным квадратом, поскольку первый и третий члены квадрата являются квадратами \(2a\) и \(5b\), а второй член \(20ab\) - это удвоенное произведение коэффициентов этих квадратов.
Таким образом, это выражение можно переписать в следующем виде:
\(4a^2 + 20ab + 25b^2 = (2a+5b)^2\).

3. Чтобы преобразовать выражение \((x - 2)(x + 2) - (x - 5)^2\), в первую очередь раскроем скобки:
\((x - 2)(x + 2) = x^2 - 2x + 2x - 4 = x^2 - 4\).
\((x - 5)^2 = (x - 5)(x - 5) = x^2 -5x - 5x + 25 = x^2 - 10x + 25\).
Теперь вычтем \((x - 5)^2\) из \((x - 2)(x + 2)\):
\((x - 2)(x + 2) - (x - 5)^2 = x^2 - 4 - (x^2 - 10x + 25)\).
Раскроем скобки и упростим выражение:
\(x^2 - 4 - x^2 + 10x - 25 = -14x - 29\).
Таким образом, преобразованное выражение равно \(-14x - 29\).

4. Чтобы найти решение уравнения \(4(3y + 1)^2 - 27 = (4y + 9)(4y - 9) + 2(5y + 2)(2y - 7)\), раскроем скобки:
\(4(3y + 1)^2 - 27 = (4y + 9)(4y - 9) + 2(5y + 2)(2y - 7)\).
Упростим выражение и раскроем скобки поочередно:
\(4(9y^2 + 6y + 1) - 27 = (16y^2 - 81) + 2(10y^2 - 21y + 4y - 14)\).
Раскроем скобки:
\(36y^2 + 24y + 4 - 27 = 16y^2 - 81 + 20y^2 - 42y + 8y - 28\).
Сгруппируем и упростим члены:
\(36y^2 + 24y - 23 = 16y^2 + 20y^2 + 20y - 42y + 8y - 81 - 28\).
Соберем все члены на одной стороне уравнения:
\(36y^2 + 24y - 23 - 16y^2 - 20y^2 - 20y + 42y - 8y + 81 + 28 = 0\).
Сократим подобные члены:
\(20y^2 + 18y + 86 = 0\).
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта или факторизации. Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\) равен \(18^2 - 4 \cdot 20 \cdot 86 = 324 - 6880 = -6556\), что меньше нуля. Значит, это уравнение не имеет вещественных корней.
Таким образом, уравнение \(4(3y + 1)^2 - 27 = (4y + 9)(4y - 9) + 2(5y + 2)(2y - 7)\) не имеет решения в вещественных числах.

5. Чтобы переписать выражение \((4b-9)^2 - - (3b + 8)^2\) в виде произведения, в первую очередь раскроем скобки:
\((4b-9)^2 - - (3b + 8)^2 = (16b^2 - 72b + 81) - ((3b)^2 + 2 \cdot 3b \cdot 8 + 8^2)\).
Упростим выражение:
\(16b^2 - 72b + 81 - (9b^2 + 48b + 64)\).
Раскроем скобки и упростим:
\(16b^2 - 72b + 81 - 9b^2 - 48b - 64\).
Сократим подобные члены:
\(7b^2 - 120b + 17\).
Теперь это выражение уже представляет собой полином, и его необходимо переписать в виде произведения.

6. Чтобы упростить выражение \((3 - b)(3 + b)(9 + b^2) + (4 + b^2)^2\), раскроем скобки и упростим:
\((3 - b)(3 + b)(9 + b^2) + (4 + b^2)^2\).
\(= (9 - b^2)(9 + b^2) + (16 + 8b^2 + b^4)\).
Применим формулу разности квадратов:
\(= 81 - b^4 + 16 + 8b^2 + b^4\).
Упростим выражение:
\(= 97 + 8b^2\).

Таким образом, получаем:
1а) \((c-6)^2 = c^2 - 12c + 36\)
1б) \((5 - a)(5 + a) = 25 - a^2\)
1в) \((2a-3b)^2 = 4a^2 - 12ab + 9b^2\)
1г) \((7x + 10y)(10y - 7x) = 49x^2 - 100y^2\)
2а) \(b^2 - 49 = (b+7)(b-7)\)
2б) \(100 - 9x^2 = (10+3x)(10-3x)\)
2в) \(c^2 - 8c + 16 = (c-4)(c-4)\) или \((c-4)^2\)
2г) \(4a^2 + 20ab + 25b^2 = (2a+5b)^2\)
3. \((x - 2)(x + 2) - (x - 5)^2 = -14x - 29\)
4. Уравнение \(4(3y + 1)^2 - 27 = (4y + 9)(4y - 9) + 2(5y + 2)(2y - 7)\) не имеет решения в вещественных числах.
5. \((4b-9)^2 - - (3b + 8)^2 = 7b^2 - 120b + 17\)
6. \((3 - b)(3 + b)(9 + b^2) + (4 + b^2)^2 = 97 + 8b^2\).