1. Переформулируйте уравнение прямой 2x + 3y - 6 = 0 в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и уравнения прямой

Конечно! Давайте по порядку решим каждую из задач.

1. Чтобы переформулировать уравнение прямой \(2x + 3y - 6 = 0\) в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом (\(y = mx + c\)) и уравнения прямой в отрезках (\(y = ax + b\)), мы можем выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Выразить \(y\) в исходном уравнении:

\(2x + 3y - 6 = 0\)

\(3y = -2x + 6\)

\(y = -\frac{2}{3}x + 2\)

Угловой коэффициент данной прямой равен \(-\frac{2}{3}\), а свободный член равен 2.

Шаг 2: Для уравнения в отрезках необходимо выразить \(a\) и \(b\):

Зная, что угловой коэффициент равен \(m = \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\), где \(\Delta y\) - разность значений \(y\) и \(\Delta x\) - разность значений \(x\), и прямая проходит через точку с координатами \((x_0, y_0)\), мы можем выполнить следующие шаги:

\(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = m = -\frac{2}{3}\)

Разность значений \(y\) равна \(\Delta y = y - y_0 = y - 2\) (подставляем значение y_0 = 2 и заменяем y на ax + b).

Разность значений \(x\) равна \(\Delta x = x - x_0 = x - 0\) (подставляем значение x_0 = 0).

Подставляем в уравнение и находим уравнение в отрезках:

\(-\frac{2}{3} = \frac{{y - 2}}{{x - 0}}\)

\(-2 = 3(y - 2)\)

\(-2 = 3y - 6\)

\(3y = 4\)

\(y = \frac{4}{3}x + \frac{4}{3}\)

Таким образом, уравнение прямой в отрезках равно \(y = \frac{4}{3}x + \frac{4}{3}\).

2. Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точку \(A(4, -2)\) и параллельной прямой \(MN\), где \(M(-2, 6)\) и \(N(8, 4)\), мы можем использовать следующий подход:

Шаг 1: Найдем угловой коэффициент \(MN\) с помощью формулы \(m = \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\), где \(\Delta y\) - разность значений \(y\) и \(\Delta x\) - разность значений \(x\):

\(\Delta y = 4 - 6 = -2\) и \(\Delta x = 8 - (-2) = 10\)

Тогда \(m_{MN} = \frac{{-2}}{{10}} = -\frac{1}{5}\)

Шаг 2: Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент. Таким образом, угловой коэффициент искомой прямой будет также равен \(-\frac{1}{5}\).

Шаг 3: Зная угловой коэффициент и точку, через которую проходит прямая (\(A(4, -2)\)), мы можем использовать уравнение \(y = mx + c\) для нахождения свободного члена \(c\):

\(-2 = -\frac{1}{5} \cdot 4 + c\)

\(-2 = -\frac{4}{5} + c\)

\(c = -2 + \frac{4}{5}\)

\(c = -\frac{10}{5} + \frac{4}{5}\)

\(c = -\frac{6}{5}\)

Таким образом, уравнение искомой прямой равно \(y = -\frac{1}{5}x - \frac{6}{5}\).

3. Чтобы записать уравнение прямой, проходящей через точку \(A(5, 4)\) и перпендикулярной прямой \(BC\), где \(B(3, -2)\) и \(C(7, ?)\), мы можем использовать следующий подход:

Шаг 1: Найдем угловой коэффициент \(BC\) с помощью формулы \(m = \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\), где \(\Delta y\) - разность значений \(y\) и \(\Delta x\) - разность значений \(x\):

\(\Delta y = ? - (-2) = ? + 2\) и \(\Delta x = 7 - 3 = 4\)

Тогда \(m_{BC} = \frac{{? + 2}}{{4}}\)

Шаг 2: Перпендикулярные прямые имеют угловые коэффициенты, являющиеся отрицательными обратными по отношению к друг другу. Таким образом, угловой коэффициент искомой прямой будет равен \(-\frac{1}{{m_{BC}}}\).

Шаг 3: Зная угловой коэффициент и точку, через которую проходит прямая (\(A(5, 4)\)), мы можем использовать уравнение \(y = mx + c\) для нахождения свободного члена \(c\):

\(4 = -\frac{1}{{\frac{{? + 2}}{{4}}}} \cdot 5 + c\)

\(4 = -\frac{4}{{? + 2}} \cdot 5 + c\)

\(4 = -\frac{20}{{? + 2}} + c\)

\(c = 4 + \frac{20}{{? + 2}}\)

Таким образом, уравнение искомой прямой будет \(y = -\frac{5}{{? + 2}}x + \left(4 + \frac{20}{{? + 2}}\right)\).

Теперь, когда мы решили все задачи, следует построить графики прямых.

Для первой задачи, уравнение прямой \(y = -\frac{2}{3}x + 2\) можно представить в виде таблицы значений:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline x & y \\
\hline 0 & 2 \\
\hline 3 & 0 \\
\hline 6 & -2 \\
\hline
\end{array}
\]

Построим соответствующий график:

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xlabel={x},
ylabel={y},
xmin=-1, xmax=7,
ymin=-3, ymax=3,
xtick={-1,0,1,2,3,4,5,6,7},
ytick={-3,-2,-1,0,1,2,3},
grid=both,
grid style={line width=.1pt, draw=gray!20},
width=10cm,
height=8cm,
]
\addplot[blue,thick,domain=-1:7]{-2/3*x+2};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Для второй задачи, уравнение прямой \(y = -\frac{1}{5}x - \frac{6}{5}\) можно представить в виде таблицы значений:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline x & y \\
\hline 0 & -\frac{6}{5} \\
\hline 5 & -\frac{8}{5} \\
\hline 10 & -\frac{10}{5} \\
\hline
\end{array}
\]

Построим соответствующий график:

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xlabel={x},
ylabel={y},
xmin=-1, xmax=11,
ymin=-2, ymax=1,
xtick={-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11},
ytick={-2,-1,0,1},
grid=both,
grid style={line width=.1pt, draw=gray!20},
width=10cm,
height=8cm,
]
\addplot[red,thick,domain=-1:11]{-1/5*x-6/5};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Для третьей задачи, уравнение прямой \(y = -\frac{5}{? + 2}x + \left(4 + \frac{20}{{? + 2}}\right)\) зависит от значения \(?\), которого у нас нет. Если Вы предоставите значение \(?\), я смогу построить график для данной прямой.

Пожалуйста, дайте мне знать, если у Вас возникнут дополнительные вопросы!