Какова площадь фигуры, которая закрашена на рисунке, если: a) CM = MD (рис.7), б) BK = 1/3 BC (рис.8)?

Хорошо, рассмотрим по очереди оба задания.

a) В задаче a) нам дано, что CM = MD (рис.7). Для нахождения площади фигуры, закрашенной на рисунке, мы должны определить форму этой фигуры. На рисунке мы видим, что AB и DC являются параллельными и равными сторонами квадрата. Также, так как CM = MD, то CM и MD являются равными сторонами треугольника. Заметим, что треугольник AMC и треугольник DMB являются подобными, так как у них есть две пары равных углов - ∠CMA = ∠BMD (по условию) и ∠ACM = ∠BDM (как вертикальные углы).

Воспользуемся свойством подобных треугольников, которое гласит, что отношение длин соответствующих сторон в подобных треугольниках равно. Имеем:

\[\frac{AC}{DM} = \frac{CM}{BM}\]

Так как CM = MD, то можно сказать, что

\[\frac{AC}{DM} = \frac{CM}{BM} = \frac{1}{2}\]

Также, поскольку AB и DC - параллельные стороны квадрата, то их длины равны, то есть AB = DC. Предположим, что сторона квадрата равна а, тогда AB = DC = a.

Выразим длины строн треугольника через а: DM = a - CM и BM = a - CM.

Теперь мы можем выразить AC через CM:

AC = DM + CM = (a - CM) + CM = a.

С учетом этого, уравнение становится:

\[\frac{a}{a - CM} = \frac{1}{2}\]

Решим это уравнение для CM:

\[2a = a - CM\]

\[CM = a\]

Таким образом, мы видим, что CM равняется стороне квадрата, а значит, фигура, которая закрашена на рисунке, является квадратом.

Площадь квадрата можно найти, возводя длину его стороны в квадрат:

Площадь = CM^2 = a^2

Ответ: Площадь фигуры равна \(a^2\).

б) В задаче б) нам дано, что BK = 1/3 BC (рис.8). Подобно предыдущему случаю, изобразим наши данные на рисунке. Если мы обратим внимание, то увидим, что прямоугольник ABCD разделен треугольником BKD и прямоугольником ABKC.

У нас есть информация, что BK = 1/3 BC. Предположим, что длина строны BC равна а. Тогда BK = 1/3 а.

Также, прямоугольник ABCD можно разделить вертикальной прямой на две половины. Обозначим точку пересечения этой линии с прямой BC как точку М.

Теперь давайте рассмотрим треугольник BKD. У него сторона BK равна 1/3 а, а сторона KD равна 2/3 а (так как KD = BC - BK = а - 1/3 а = 2/3 а).

Теперь обратимся к прямоугольнику ABKC. Если мы умножим ширину BC на длину BKD, мы получим площадь этого прямоугольника:

Площадь прямоугольника ABKC = ширина BC * длина BKD = а * (2/3 а) = 2/3 а^2

Так как треугольник BKD составляет половину площади прямоугольника ABKC, площадь треугольника BKD равна половине площади прямоугольника ABKC:

Площадь треугольника BKD = 1/2 * Площадь прямоугольника ABKC = 1/2 * (2/3 а^2) = 1/3 а^2

Теперь, чтобы найти площадь всей закрашенной фигуры, мы должны сложить площадь прямоугольника ABKC и площадь треугольника BKD:

Площадь фигуры = Площадь прямоугольника ABKC + Площадь треугольника BKD = (2/3 а^2) + (1/3 а^2) = а^2

Ответ: Площадь фигуры равна \(a^2\).