1. Определите значение tg2x, если tgx равен 29. 2. Найдите значение выражения 5+cos2β при cosβ равном 0,7

Конечно, помогу вам с решением этих математических задач. Давайте начнем с первой задачи.

1. Определение значения tg2x, если tgx равен 29:
Для решения этой задачи мы можем использовать формулу:
\[tg2x = \frac{{2 \cdot tgx}}{{1 - tg^2x}}.\]

Из условия задачи мы знаем, что tgx равен 29. Подставим данное значение в формулу:
\[tg2x = \frac{{2 \cdot 29}}{{1 - 29^2}}.\]

Выполнив вычисления, получим:
\[tg2x = \frac{{58}}{{1 - 841}} = \frac{{58}}{{-840}}.\]
Таким образом, значение tg2x равно \(-\frac{{58}}{{840}}\).

2. Нахождение значения выражения 5+cos2β при cosβ равном 0,7:
Воспользуемся формулой:
\[cos2\beta = 2 \cdot cos^2\beta - 1.\]

Заменим cos²β в выражении 5 + cos²β на данное значение 0,7:
\[5 + cos2\beta = 5 + 2 \cdot 0,7^2 - 1.\]

Посчитаем выражение:
\[5 + cos2\beta = 5 + 2 \cdot 0,49 - 1 = 5 + 0,98 - 1 = 5,98 - 1 = 4,98.\]
Таким образом, значение выражения 5 + cos2β при cosβ равном 0,7 равно 4,98.

3. Представление угла 15° в виде удвоенного угла:
Для этого мы можем воспользоваться формулой:
\[2\alpha = \alpha + \alpha.\]

Подставив значение угла 15° в формулу, получим:
\[2\cdot15 = 15 + 15.\]

Выполнив вычисления, получим:
\[2\cdot15 = 30.\]
Таким образом, представление угла 15° в виде удвоенного угла - это угол 30°.

4. Вычисление выражения 2sin(π/12)cos(π/12)+27:
Для начала, вычислим значения sin(π/12) и cos(π/12) с помощью тригонометрических формул:
\[sin(π/12) = \frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{3}},\]
\[cos(π/12) = \frac{1}{2}\sqrt{2 + \sqrt{3}}.\]

Подставим эти значения в исходное выражение:
\[2\left(\frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{3}}\right)\left(\frac{1}{2}\sqrt{2 + \sqrt{3}}\right) + 27.\]

Выполнив вычисления, получим:
\[2\left(\frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{3}}\right)\left(\frac{1}{2}\sqrt{2 + \sqrt{3}}\right) + 27 \approx 27,98.\]
Таким образом, выражение \(2\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) + 27\) примерно равно 27,98.

5. Нахождение разности между cos²(2π/8) и sin²(2π/8):
Так как \(2\pi/8 = \pi/4\), мы можем переписать выражение как:
\[cos²\left(\frac{\pi}{4}\right) - sin²\left(\frac{\pi}{4}\right).\]

Используем тригонометрические формулы:
\[cos²\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2},\]
\[sin²\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}.\]

Подставим эти значения в выражение:
\[\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0.\]
Таким образом, разность между \(cos²\left(\frac{2\pi}{8}\right)\) и \(sin²\left(\frac{2\pi}{8}\right)\) равна 0.