1. Определите углы треугольника GHT при условии, что угол G в два раза меньше угла H, а угол T на 45° больше угла

1. Для решения этой задачи нам нужно использовать информацию о соотношениях между углами треугольника GHT. Даны следующие условия:

Угол G в два раза меньше угла H: $\mathrm{\angle }G=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }H$

Угол T на 45° больше угла H: $\mathrm{\angle }T=\mathrm{\angle }H+45°$

Чтобы найти значения углов G, H и T, нам нужно использовать эти связи и выполнить несколько вычислений.

Сначала найдем значение угла H. Используем первое условие, чтобы выразить угол G через угол H: $\mathrm{\angle }G=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }H$.
Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, у нас есть уравнение: $\mathrm{\angle }G+\mathrm{\angle }H+\mathrm{\angle }T=180°$.

Подставим значения:
$\frac{1}{2}\mathrm{\angle }H+\mathrm{\angle }H+\mathrm{\angle }H+45°=180°$.

Суммируем углы: $\frac{5}{2}\mathrm{\angle }H+45°=180°$.

Выразим угол H: $\frac{5}{2}\mathrm{\angle }H=180°-45°$.

Рассчитаем: $\mathrm{\angle }H=\frac{135°}{\frac{5}{2}}$.

Получаем: $\mathrm{\angle }H=2\cdot \frac{135°}{5}$.

Вычислим: $\mathrm{\angle }H=2\cdot 27°=54°$.

Теперь найдем значения углов G и T.

Угол G: $\mathrm{\angle }G=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }H=\frac{1}{2}\cdot 54°=27°$.

Угол T: $\mathrm{\angle }T=\mathrm{\angle }H+45°=54°+45°=99°$.

Таким образом, угол G равен 27°, угол H равен 54°, а угол T равен 99°.

2. Чтобы найти значение угла ∠AQE в треугольнике ERT, нам нужно использовать информацию о значениях углов R и E, а также о пересечении биссектрис ES и TA в точке Q.

У нас даны следующие значения:

Угол R: $\mathrm{\angle }R=63°$

Угол E: $\mathrm{\angle }E=55°$

Биссектрисы ES и TA пересекаются в точке Q.

Чтобы найти значение угла ∠AQE, мы должны использовать свойство биссектрисы, которое говорит нам, что биссектриса угла делит его на два равных угла. Таким образом, мы можем предположить, что угол ∠AQE равен углу ∠QER.

Угол ∠QER можно найти, вычтя из 180° сумму углов R и E:

$\mathrm{\angle }QER=180°-(\mathrm{\angle }R+\mathrm{\angle }E)$.

Подставим значения:

$\mathrm{\angle }QER=180°-(63°+55°)$.

Рассчитаем:

$\mathrm{\angle }QER=180°-118°$.

$\mathrm{\angle }QER=62°$.

Таким образом, угол ∠AQE в треугольнике ERT равен 62°.

3. Для решения этой задачи нам нужно использовать информацию о равнобедренном треугольнике FGH с основанием HG. Даны следующие условия:

Точка T принадлежит отрезку FG.

Угол ∠HTG = 132°.

Поскольку треугольник FGH равнобедренный с основанием HG, мы можем предположить, что углы G и H равны.

Пусть $\mathrm{\angle }G=\mathrm{\angle }H=x$.

Также у нас есть угол ∠HTG = 132°.

Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому у нас есть уравнение:

$\mathrm{\angle }G+\mathrm{\angle }H+\mathrm{\angle }T=180°$.

Подставим значения:

$x+x+132°=180°$.

Суммируем углы:

$2x+132°=180°$.

Выразим x:

$2x=180°-132°$.

$2x=48°$.

$x=\frac{48°}{2}$.

Вычисляем:

$x=24°$.

Таким образом, углы G и H в равнобедренном треугольнике FGH равны 24°, а угол T равен $180°-(24°+24°)=132°$.