1. Определите расстояние между серединой отрезка bc и точкой, которая делит отрезок ad в отношении 1:2, при условии

Чтобы найти расстояние между серединой отрезка \(BC\) и точкой, которая делит отрезок \(AD\) в отношении \(1:2\), мы можем использовать формулу для нахождения координат середины отрезка и формулу для нахождения расстояния между двумя точками в координатной плоскости.

Шаг 1: Найдем координаты середины отрезка \(BC\).
Координаты середины отрезка между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) могут быть найдены по формулам:
\(x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}\)
\(y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}\)

Для отрезка \(BC\) с координатами точек \(B(3; 1)\) и \(C(8; 9)\), мы можем использовать эти формулы, чтобы найти координаты середины \(M(x_m, y_m)\).

\(x_m = \frac{3 + 8}{2} = \frac{11}{2} = 5.5\)

\(y_m = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5\)

Координаты середины отрезка \(BC\) равны \(M(\frac{11}{2}, 5)\).

Шаг 2: Найдем координаты точки, которая делит отрезок \(AD\) в отношении \(1:2\).
Пусть эта точка называется \(P\). Координаты точек \(A(-5; 3)\), \(D(-2; -7)\) и \(P(x_p, y_p)\) могут быть найдены по формулам:
\(x_p = \frac{2x_a + x_d}{3}\)
\(y_p = \frac{2y_a + y_d}{3}\)

Подставим данные координаты точек \(A(-5; 3)\) и \(D(-2; -7)\) в эти формулы, чтобы найти координаты точки \(P(x_p, y_p)\).

\(x_p = \frac{2 \cdot (-5) + (-2)}{3} = \frac{-10 - 2}{3} = \frac{-12}{3} = -4\)

\(y_p = \frac{2 \cdot 3 + (-7)}{3} = \frac{6 - 7}{3} = \frac{-1}{3}\)

Координаты точки \(P\) равны \(P(-4, \frac{-1}{3})\).

Шаг 3: Найдем расстояние между точками \(M\) и \(P\).
Формула для расстояния между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) в координатной плоскости:
\(d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\)

Подставим координаты точек \(M(5.5, 5)\) и \(P(-4, \frac{-1}{3})\) в эту формулу, чтобы найти расстояние \(d\).

\(d = \sqrt{{(5.5 - (-4))^2 + (5 - \frac{-1}{3})^2}}\)

\(d = \sqrt{{(9.5)^2 + (\frac{16}{3})^2}}\)

\(d = \sqrt{{90.25 + \frac{256}{9}}}\)

\(d = \sqrt{{\frac{812.25 + 256}{9}}}\)

\(d = \sqrt{{\frac{1068.25}{9}}}\)

\(d = \sqrt{{118.6944}}\)

\(d \approx 10.89\)

Расстояние между серединой отрезка \(BC\) и точкой, которая делит отрезок \(AD\) в отношении \(1:2\), составляет примерно \(10.89\)