1. Определите радиус окружности, описанной вокруг квадрата с диагональю длиной 18 см. 2. Найдите радиус окружности

Хорошо, давайте решим эти задачи по очереди.

1. Мы имеем в виду, что описанная окружность проходит через углы квадрата. Для начала, найдем длину стороны квадрата. Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, у которого диагональ - гипотенуза, мы можем найти значение стороны. Поэтому:

\[
\text{Длина стороны квадрата } = \frac{{\text{Длина диагонали квадрата}}}{{\sqrt{2}}}
\]

Рассчитаем это:

\[
\text{Длина стороны квадрата } = \frac{{18}}{{\sqrt{2}}}
\]

Теперь, чтобы найти радиус описанной окружности, мы используем формулу:

\[
\text{Радиус окружности } = \frac{{\text{Длина стороны квадрата}}}{2}
\]

Подставим значение длины стороны квадрата в формулу:

\[
\text{Радиус окружности } = \frac{{\frac{{18}}{{\sqrt{2}}}}}{2}
\]

Упростим эту формулу, разделив числитель на знаменатель:

\[
\text{Радиус окружности } = \frac{{18}}{{2 \cdot \sqrt{2}}}
\]

Теперь можно упростить это выражение:

\[
\text{Радиус окружности } = \frac{{9}}{{\sqrt{2}}}
\]

Получили значение радиуса окружности, описанной вокруг квадрата.

2. Чтобы найти радиус окружности, вписанной в квадрат, нам потребуется знать длину стороны квадрата. В этой задаче известна длина стороны квадрата, она равна 12 см. Радиус окружности, вписанной в квадрат, является половиной длины стороны квадрата. Поэтому:

\[
\text{Радиус окружности } = \frac{{\text{Длина стороны квадрата}}}{2}
\]

Подставим значение длины стороны квадрата:

\[
\text{Радиус окружности } = \frac{{12}}{2}
\]

Упростим:

\[
\text{Радиус окружности } = 6
\]

Таким образом, радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной длиной 12 см, равен 6 см.

3. Для того чтобы найти площадь правильного шестиугольника с периметром \(18\sqrt{3}\), нам сначала понадобится найти длину стороны шестиугольника. Прямоугольный треугольник, образованный отрезком между центром шестиугольника и одним из его углов, имеет углы \(60^\circ\), \(30^\circ\) и \(90^\circ\). Длина медианы равна половине длины стороны шестиугольника. Так как у нас прямоугольный треугольник, мы можем использовать соотношение сторон \(1:\sqrt{3}:2\) в прямоугольном треугольнике, где 1 - это сторона против угла \(30^\circ\). Таким образом:

\[
\text{Длина стороны шестиугольника } = \frac{{\text{Периметр шестиугольника}}}{{2\sqrt{3}}}
\]

Подставим значение периметра шестиугольника:

\[
\text{Длина стороны шестиугольника } = \frac{{18\sqrt{3}}}{{2\sqrt{3}}}
\]

Упростим:

\[
\text{Длина стороны шестиугольника } = 9
\]

Теперь мы можем использовать формулу для площади правильного шестиугольника:

\[
\text{Площадь } = \frac{{3\sqrt{3}}}{2} \cdot (\text{Длина стороны})^2
\]

Подставим значение длины стороны:

\[
\text{Площадь } = \frac{{3\sqrt{3}}}{2} \cdot (9)^2
\]

Упростим:

\[
\text{Площадь } = \frac{{3\sqrt{3}}}{2} \cdot 81
\]

Вычислим эту величину:

\[
\text{Площадь } = \frac{{243\sqrt{3}}}{2}
\]

Итак, площадь правильного шестиугольника с периметром \(18\sqrt{3}\) равна \(\frac{{243\sqrt{3}}}{2}\).