Какой радиус сферы должен быть, если на ней указан угол величиной 150° и ближайшее расстояние между точками касания

Для решения этой задачи мы можем использовать связь между радиусом сферы и дуговым отрезком, который соответствует заданному углу.

Для начала нам нужно установить связь между дуговым отрезком и углом. В сферической геометрии дуговой отрезок измеряется в радианах, причем полный обход сферы составляет 360° или \(2\pi\) радиан. Когда величина угла измеряется в градусах, его можно преобразовать в радианы, используя следующую формулу:

\[
\text{{величина угла в радианах}} = \frac{{\pi \times \text{{величина угла в градусах}}}}{{180}}
\]

В данной задаче у нас указан угол величиной 150°, поэтому для перевода в радианы мы применим формулу:

\[
\text{{величина угла в радианах}} = \frac{{\pi \times 150}}{{180}} = \frac{5\pi}{6}
\]

Теперь мы можем использовать найденный угол для вычисления длины дугового отрезка. Длина дугового отрезка определяется следующей формулой:

\[
\text{{длина дугового отрезка}} = \text{{радиус сферы}} \times \text{{величина угла в радианах}}
\]

У нас известно, что ближайшее расстояние между точками касания составляет 36π (единиц измерения). Следовательно, мы можем записать соотношение:

\[
\text{{длина дугового отрезка}} = 36\pi \text{{ (единиц измерения)}}
\]

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[
\text{{радиус сферы}} \times \frac{5\pi}{6} = 36\pi
\]

Для нахождения радиуса сферы делим обе части уравнения на \(\frac{5\pi}{6}\):

\[
\text{{радиус сферы}} = \frac{{36\pi}}{{\frac{5\pi}{6}}} = \frac{{36\pi \times 6}}{{5\pi}} = \frac{{216\pi}}{{5}}
\]

Таким образом, радиус сферы должен быть равен \(\frac{{216\pi}}{{5}}\) единицам измерения.