1) Определите положение данной точки: находится ли она на окружности, внутри круга, ограниченного данной окружностью

1) Чтобы определить положение точки относительно окружности, нужно проверить ее расстояние до центра окружности. Если расстояние равно радиусу окружности, то точка лежит на окружности. Если расстояние меньше радиуса, то точка находится внутри круга, ограниченного данной окружностью. Если расстояние больше радиуса, то точка находится вне круга.

1) Точка B(0;1) имеет координаты (0, 1). Расстояние от точки B до начала координат можно найти с помощью теоремы Пифагора:

\[r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1\]

Расстояние r равно радиусу, следовательно, точка B находится на окружности.

2) Точка C(5;4) имеет координаты (5, 4). Найдем расстояние от точки C до точки A(5;3) и B(8;10):

\[r_1 = \sqrt{(5-5)^2 + (4-3)^2} = 1\]

\[r_2 = \sqrt{(5-8)^2 + (4-10)^2} = 7.6158\]

Расстояние от точки C до точки A равно 1, а до точки B равно 7.6158. Так как расстояния не равны, то точка C не лежит ни на окружности, ни внутри круга, ограниченного данной окружностью. Точка C находится вне круга.

3) Точка A(-4;0) имеет координаты (-4, 0). Расстояние от точки A до начала координат:

\[r = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = 4\]

Расстояние r равно радиусу, следовательно, точка A находится на окружности.

2) Чтобы найти уравнение прямой, все точки которой находятся на равных расстояниях от точек A(5;3) и B(8;10), нужно воспользоваться формулой расстояния между точкой и прямой. Расстояние от точки (x, y) до прямой Ax + By + C = 0 вычисляется по формуле:

\[d = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]

В данном случае, расстояние от точки (x, y) до точки A(5;3) равно расстоянию от точки (x, y) до точки B(8;10). Подставив координаты точек A и B, получим систему уравнений:

\[\frac{|5x + 3y + C|}{\sqrt{5^2 + 3^2}} = \frac{|8x + 10y + C|}{\sqrt{8^2 + 10^2}}\]

\[\frac{|5x + 3y + C|}{\sqrt{34}} = \frac{|8x + 10y + C|}{\sqrt{164}}\]

Решая эту систему, получим уравнение прямой:

\[18x + 6y + 9 = 0\]

Таким образом, уравнение прямой, все точки которой находятся на равных расстояниях от точек A(5;3) и B(8;10), записывается как:

\[18x + 6y + 9 = 0\]

3) Дано уравнение окружности x^2 + y^2 = 25. Чтобы найти ординату точек на этой окружности, необходимо подставить различные значения абсциссы и решить уравнение для переменной y.

Подставляя x = 3, получим:

\[3^2 + y^2 = 25\]

\[y^2 = 16\]

\[y = \pm 4\]

Таким образом, ординаты точек на этой окружности, при x = 3, равны 4 и -4.

Аналогично, подставляя x = -3, получим:

\[-3^2 + y^2 = 25\]

\[y^2 = 16\]

\[y = \pm 4\]

Ординаты точек на этой окружности, при x = -3, также равны 4 и -4.

Таким образом, ординаты точек на этой окружности равны 4 и -4 при значениях абсциссы x = 3 и x = -3.