1. Определите длину медианы, проведенной из вершины Р треугольника HPM, если координаты точек M, P, H равны

1. Для начала, найдем координаты вершины HPM треугольника. Для этого нужно найти середины сторон треугольника.

Для стороны HM, координаты середины будут:
\((\frac{{1 + (-15)}}{2}, \frac{{11 + 9}}{2}) = (-7, 10)\)

Для стороны MP, координаты середины будут:
\((\frac{{8 + 1}}{2}, \frac{{2 + 11}}{2}) = (\frac{9}{2}, \frac{13}{2}) = (4.5, 6.5)\)

Для стороны PH, координаты середины будут:
\((\frac{{-15 + 8}}{2}, \frac{{9 + 2}}{2}) = (-\frac{7}{2}, \frac{11}{2}) = (-3.5, 5.5)\)

Теперь, чтобы найти длину медианы, проведенной из вершины Р, нам нужно найти расстояние между точкой P и найденной серединой PH. Используем формулу расстояния между двумя точками:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

где \((x_1, y_1)\) - координаты точки P, а \((x_2, y_2)\) - найденные координаты середины PH.

Подставим значения:

\[d = \sqrt{{(8 - (-3.5))^2 + (2 - 5.5)^2}}\]
\[d = \sqrt{{(11.5)^2 + (-3.5)^2}}\]
\[d = \sqrt{{132.25 + 12.25}}\]
\[d = \sqrt{{144.5}}\]
\[d \approx 12.02\]

Таким образом, длина медианы, проведенной из вершины Р треугольника HPM, составляет примерно 12.02 единицы длины.

2. Чтобы определить, лежит ли точка A (1, √3) на окружности с центром (2, 0) и радиусом 2, нужно проверить, равно ли расстояние между точкой A и центром окружности 2.

Используя формулу расстояния между двумя точками:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

где \((x_1, y_1)\) - координаты центра окружности (2, 0), а \((x_2, y_2)\) - координаты точки A (1, √3).

Подставим значения:

\[d = \sqrt{{(1 - 2)^2 + (\sqrt{3} - 0)^2}}\]
\[d = \sqrt{{(-1)^2 + 3}}\]
\[d = \sqrt{{1 + 3}}\]
\[d = \sqrt{{4}}\]
\[d = 2\]

Мы видим, что полученное расстояние между точкой A и центром окружности является радиусом окружности (2). Таким образом, точка A лежит на данной окружности.

3. Чтобы доказать, что параллелограмм ABCD является квадратом, нужно проверить, что все его стороны одинаковой длины и углы между сторонами равны 90 градусов.

Для начала, найдем длины сторон AB, BC, CD, DA и диагоналей AC и BD при помощи формулы расстояния между двумя точками:

Сторона AB:
\[d_{AB} = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]
\[d_{AB} = \sqrt{{(0 - 4)^2 + (4 - 1)^2}}\]
\[d_{AB} = \sqrt{{(-4)^2 + 3^2}}\]
\[d_{AB} = \sqrt{{16 + 9}}\]
\[d_{AB} = \sqrt{{25}}\]
\[d_{AB} = 5\]

Сторона BC:
\[d_{BC} = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]
\[d_{BC} = \sqrt{{(-3 - 0)^2 + (0 - 4)^2}}\]
\[d_{BC} = \sqrt{{(-3)^2 + (-4)^2}}\]
\[d_{BC} = \sqrt{{9 + 16}}\]
\[d_{BC} = \sqrt{{25}}\]
\[d_{BC} = 5\]

Сторона CD:
\[d_{CD} = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]
\[d_{CD} = \sqrt{{(1 - (-3))^2 + (-3 - 0)^2}}\]
\[d_{CD} = \sqrt{{4^2 + (-3)^2}}\]
\[d_{CD} = \sqrt{{16 + 9}}\]
\[d_{CD} = \sqrt{{25}}\]
\[d_{CD} = 5\]

Сторона DA:
\[d_{DA} = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]
\[d_{DA} = \sqrt{{(4 - 1)^2 + (1 - (-3))^2}}\]
\[d_{DA} = \sqrt{{3^2 + 4^2}}\]
\[d_{DA} = \sqrt{{9 + 16}}\]
\[d_{DA} = \sqrt{{25}}\]
\[d_{DA} = 5\]

Диагональ AC:
\[d_{AC} = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]
\[d_{AC} = \sqrt{{(4 - (-3))^2 + (1 - 0)^2}}\]
\[d_{AC} = \sqrt{{7^2 + 1^2}}\]
\[d_{AC} = \sqrt{{49 + 1}}\]
\[d_{AC} = \sqrt{{50}}\]
\[d_{AC} = 5 \sqrt{{2}}\]

Диагональ BD:
\[d_{BD} = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]
\[d_{BD} = \sqrt{{(0 - 1)^2 + (4 - (-3))^2}}\]
\[d_{BD} = \sqrt{{(-1)^2 + 7^2}}\]
\[d_{BD} = \sqrt{{1 + 49}}\]
\[d_{BD} = \sqrt{{50}}\]
\[d_{BD} = 5 \sqrt{{2}}\]

Мы видим, что все стороны параллелограмма ABCD имеют одинаковую длину 5, а также диагонали AC и BD имеют одинаковую длину \(5\sqrt{2}\).

Теперь проверим, что все углы между сторонами параллелограмма ABCD равны 90 градусов.

Угол ABC можно найти используя скалярное произведение векторов AB и BC:
\[\cos(\angle ABC) = \frac{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{BC}}{\|\mathbf{AB}\| \cdot \|\mathbf{BC}\|}\]
\[\cos(\angle ABC) = \frac{(0-4)\cdot(4-1)+(4-1)\cdot(0-4)}{\sqrt{3^2+4^2} \cdot \sqrt{3^2+4^2}}\]
\[\cos(\angle ABC) = \frac{(-4)\cdot(3)+3\cdot(-4)}{\sqrt{25} \cdot \sqrt{25}}\]
\[\cos(\angle ABC) = \frac{-12 - 12}{25}\]
\[\cos(\angle ABC) = \frac{-24}{25}\]

Таким образом, \(\cos(\angle ABC) = \frac{-24}{25}\), что не равно 0. Значит, угол ABC не равен 90 градусам и параллелограмм ABCD не является квадратом.

Таким образом, параллелограмм ABCD, заданный координатами вершин, не является квадратом.