1. Определите длину медианы, проведенной из вершины Р треугольника HPM, если координаты точек M, P, H равны

1. Для начала, найдем координаты вершины HPM треугольника. Для этого нужно найти середины сторон треугольника.

Для стороны HM, координаты середины будут:
$(\frac{1+(-15)}{2},\frac{11+9}{2})=(-7,10)$

Для стороны MP, координаты середины будут:
$(\frac{8+1}{2},\frac{2+11}{2})=(\frac{9}{2},\frac{13}{2})=(4.5,6.5)$

Для стороны PH, координаты середины будут:
$(\frac{-15+8}{2},\frac{9+2}{2})=(-\frac{7}{2},\frac{11}{2})=(-3.5,5.5)$

Теперь, чтобы найти длину медианы, проведенной из вершины Р, нам нужно найти расстояние между точкой P и найденной серединой PH. Используем формулу расстояния между двумя точками:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

где $(x_1,y_1)$ - координаты точки P, а $(x_2,y_2)$ - найденные координаты середины PH.

Подставим значения:

$$d=\sqrt{(8-(-3.5){)}^2+(2-5.5{)}^2}$$
$$d=\sqrt{(11.5{)}^2+(-3.5{)}^2}$$
$$d=\sqrt{132.25+12.25}$$
$$d=\sqrt{144.5}$$
$$d\approx 12.02$$

Таким образом, длина медианы, проведенной из вершины Р треугольника HPM, составляет примерно 12.02 единицы длины.

2. Чтобы определить, лежит ли точка A (1, √3) на окружности с центром (2, 0) и радиусом 2, нужно проверить, равно ли расстояние между точкой A и центром окружности 2.

Используя формулу расстояния между двумя точками:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

где $(x_1,y_1)$ - координаты центра окружности (2, 0), а $(x_2,y_2)$ - координаты точки A (1, √3).

Подставим значения:

$$d=\sqrt{(1-2{)}^2+(\sqrt{3}-0{)}^2}$$
$$d=\sqrt{(-1{)}^2+3}$$
$$d=\sqrt{1+3}$$
$$d=\sqrt{4}$$
$$d=2$$

Мы видим, что полученное расстояние между точкой A и центром окружности является радиусом окружности (2). Таким образом, точка A лежит на данной окружности.

3. Чтобы доказать, что параллелограмм ABCD является квадратом, нужно проверить, что все его стороны одинаковой длины и углы между сторонами равны 90 градусов.

Для начала, найдем длины сторон AB, BC, CD, DA и диагоналей AC и BD при помощи формулы расстояния между двумя точками:

Сторона AB:
$$d_{AB}=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$
$$d_{AB}=\sqrt{(0-4{)}^2+(4-1{)}^2}$$
$$d_{AB}=\sqrt{(-4{)}^2+3^2}$$
$$d_{AB}=\sqrt{16+9}$$
$$d_{AB}=\sqrt{25}$$
$$d_{AB}=5$$

Сторона BC:
$$d_{BC}=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$
$$d_{BC}=\sqrt{(-3-0{)}^2+(0-4{)}^2}$$
$$d_{BC}=\sqrt{(-3{)}^2+(-4{)}^2}$$
$$d_{BC}=\sqrt{9+16}$$
$$d_{BC}=\sqrt{25}$$
$$d_{BC}=5$$

Сторона CD:
$$d_{CD}=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$
$$d_{CD}=\sqrt{(1-(-3){)}^2+(-3-0{)}^2}$$
$$d_{CD}=\sqrt{4^2+(-3{)}^2}$$
$$d_{CD}=\sqrt{16+9}$$
$$d_{CD}=\sqrt{25}$$
$$d_{CD}=5$$

Сторона DA:
$$d_{DA}=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$
$$d_{DA}=\sqrt{(4-1{)}^2+(1-(-3){)}^2}$$
$$d_{DA}=\sqrt{3^2+4^2}$$
$$d_{DA}=\sqrt{9+16}$$
$$d_{DA}=\sqrt{25}$$
$$d_{DA}=5$$

Диагональ AC:
$$d_{AC}=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$
$$d_{AC}=\sqrt{(4-(-3){)}^2+(1-0{)}^2}$$
$$d_{AC}=\sqrt{7^2+1^2}$$
$$d_{AC}=\sqrt{49+1}$$
$$d_{AC}=\sqrt{50}$$
$$d_{AC}=5\sqrt{2}$$

Диагональ BD:
$$d_{BD}=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$
$$d_{BD}=\sqrt{(0-1{)}^2+(4-(-3){)}^2}$$
$$d_{BD}=\sqrt{(-1{)}^2+7^2}$$
$$d_{BD}=\sqrt{1+49}$$
$$d_{BD}=\sqrt{50}$$
$$d_{BD}=5\sqrt{2}$$

Мы видим, что все стороны параллелограмма ABCD имеют одинаковую длину 5, а также диагонали AC и BD имеют одинаковую длину $5\sqrt{2}$.

Теперь проверим, что все углы между сторонами параллелограмма ABCD равны 90 градусов.

Угол ABC можно найти используя скалярное произведение векторов AB и BC:
$$\cos (\mathrm{\angle }ABC)=\frac{\mathbf{AB}\cdot \mathbf{BC}}{\Vert \mathbf{AB}\Vert \cdot \Vert \mathbf{BC}\Vert }$$
$$\cos (\mathrm{\angle }ABC)=\frac{(0-4)\cdot (4-1)+(4-1)\cdot (0-4)}{\sqrt{3^2+4^2}\cdot \sqrt{3^2+4^2}}$$
$$\cos (\mathrm{\angle }ABC)=\frac{(-4)\cdot (3)+3\cdot (-4)}{\sqrt{25}\cdot \sqrt{25}}$$
$$\cos (\mathrm{\angle }ABC)=\frac{-12-12}{25}$$
$$\cos (\mathrm{\angle }ABC)=\frac{-24}{25}$$

Таким образом, $\cos (\mathrm{\angle }ABC)=\frac{-24}{25}$, что не равно 0. Значит, угол ABC не равен 90 градусам и параллелограмм ABCD не является квадратом.

Таким образом, параллелограмм ABCD, заданный координатами вершин, не является квадратом.