1. Определите длину стороны АВС треугольника АВС, если длины сторон АС и ВС равны 5 и 7 соответственно, а значение

1. Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов, которая гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C\]

где c - длина стороны, противолежащей углу C, a и b - длины остальных сторон, С - мера угла C.

Из условия задачи известны значения длин сторон АС и ВС, а также значение косинуса угла C. Давайте подставим все это в формулу и найдем длину стороны АВ.

\[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C\]
\[AB^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 0,1\]
\[AB^2 = 25 + 49 - 7\]
\[AB^2 = 67\]
\[AB = \sqrt{67}\]

Таким образом, длина стороны АВ треугольника АВС равна \(\sqrt{67}\).

2. В данной задаче у нас также даны длины сторон АС и ВС, а также значение угла С. Мы можем найти длину стороны АВ по той же формуле, что и в предыдущей задаче. Также мы можем использовать теорему синусов для нахождения значения косинусов углов.

\[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C\]
\[AB^2 = 12^2 + 28^2 - 2 \cdot 12 \cdot 28 \cdot \cos 120^\circ\]
\[AB^2 = 144 + 784 - 672 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\]
\[AB^2 = 928 + 336\]
\[AB^2 = 1264\]
\[AB = \sqrt{1264}\]

Таким образом, длина стороны АВ треугольника АВС равна \(\sqrt{1264}\).

Теперь найдем значения косинусов углов. В треугольнике АВС сумма всех углов равна 180 градусов. Так как угол С равен 120 градусам, то углы А и В составляют оставшиеся 180 - 120 = 60 градусов.

Значение косинуса угла C равно:

\[\cos C = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} = \frac{12^2 + 28^2 - (\sqrt{1264})^2}{2 \cdot 12 \cdot 28}\]

Значение косинуса угла A равно:

\[\cos A = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{(\sqrt{1264})^2 + 28^2 - 12^2}{2 \cdot (\sqrt{1264}) \cdot 28}\]

Значение косинуса угла B равно:

\[\cos B = \frac{AC^2 + AB^2 - BC^2}{2 \cdot AC \cdot AB} = \frac{12^2 + (\sqrt{1264})^2 - 28^2}{2 \cdot 12 \cdot (\sqrt{1264})}\]

Подставив значения, мы можем вычислить косинусы углов.