1. Определить область допустимых значений функции y=27x−x3: D(f)= (; ). 2. Определить, является ли данная функция

1. Для определения области допустимых значений функции \(y = 27x - x^3\), нужно найти значения \(x\), при которых функция определена. В данном случае, функция задана алгебраическим выражением, и она будет определена для любого значения \(x\). То есть, область допустимых значений функции \(y = 27x - x^3\) равна \(D(f) = (-\infty,\infty)\).

2. Чтобы определить, является ли данная функция \(y = 27x - x^3\) четной, нечетной или ни четной, ни нечетной, нужно проанализировать её график. Для этого, проверим выполнение свойств четности и нечетности функции:
- Четная функция обладает симметрией относительно оси ординат. То есть, если значение функции в точке \(x\) равно \(y\), то значение функции в точке \(-x\) также равно \(y\). В данном случае, функция \(y = 27x - x^3\) не является четной, так как её график не обладает симметрией относительно оси ординат.
- Нечетная функция обладает симметрией относительно начала координат. То есть, если значение функции в точке \(x\) равно \(y\), то значение функции в точке \(-x\) равно \(-y\). В данном случае, функция \(y = 27x - x^3\) также не является нечетной, так как не выполняется условие симметрии относительно начала координат.
- Если функция не обладает ни свойством четности, ни свойством нечетности, то она будет ни четной, ни нечетной.

Таким образом, функция \(y = 27x - x^3\) является ни четной, ни нечетной.

3. Для записи первой производной данной функции \(y = 27x - x^3\), нужно продифференцировать её по переменной \(x\). Производная функции показывает её скорость изменения в каждой точке. В данном случае, производная будет равна:
\[y" = 27 - 3x^2\]

4. Чтобы найти стационарные точки функции, нужно найти значения переменной \(x\), при которых производная равна нулю: \(y" = 0\). Решим уравнение:
\[27 - 3x^2 = 0\]
Получаем:
\[3x^2 = 27\]
\[x^2 = 9\]
\[x = \pm 3\]
Таким образом, стационарные точки функции \(y = 27x - x^3\) равны: \(x_1 = -3\) и \(x_2 = 3\).

5. Чтобы найти точки экстремума, нужно подставить найденные стационарные точки в исходную функцию. Получим:
\[y_1 = 27(-3) - (-3)^3 = -108\]
\[y_2 = 27(3) - (3)^3 = 54\]
Таким образом, точки экстремума функции \(y = 27x - x^3\) равны: \(x_{\min} = -3\) со значением \(y_{\min} = -108\), и \(x_{\max} = 3\) со значением \(y_{\max} = 54\).

6. Чтобы определить интервалы монотонности функции \(y = 27x - x^3\), нужно проанализировать знак производной в различных интервалах. Мы уже вычислили производную \(y" = 27 - 3x^2\), теперь определим знак производной:
- Когда \(x < -3\), \(y" < 0\), значит функция \(y = 27x - x^3\) убывает на интервале \((-\infty, -3)\).
- Когда \(-3 < x < 3\), \(y" > 0\), значит функция \(y = 27x - x^3\) возрастает на интервале \((-3, 3)\).
- Когда \(x > 3\), \(y" < 0\), значит функция \(y = 27x - x^3\) убывает на интервале \((3, \infty)\).

Таким образом, интервалы монотонности функции \(y = 27x - x^3\) равны: функция возрастает, если \(x \in (-3, 3)\), и функция убывает, если \(x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)\).

7. Чтобы найти точки пересечения графика функции \(y = 27x - x^3\) с осями координат, нужно записать уравнения линий, соответствующих осям координат:
- Пересечение с осью \(Ox\) означает, что \(y = 0\). Подставим это в исходную функцию и решим уравнение:
\[27x - x^3 = 0\]
Здесь мы имеем два варианта решения: \(x = 0\) и \(x = \pm 3\). Значит, график функции пересекает ось \(Ox\) в точках \((0, 0)\), \((-3, 0)\) и \((3, 0)\).
- Пересечение с осью \(Oy\) означает, что \(x = 0\). Значит, точка пересечения с осью \(Oy\) будет равна \((0, 0)\).

Таким образом, точки пересечения графика функции \(y = 27x - x^3\) с осями координат равны: \((0, 0)\), \((-3, 0)\) и \((3, 0)\).