1. Найти значение седьмого члена последовательности: аn=8n-6 2. Найти значение четвёртого члена последовательности

1. Для нахождения значения седьмого члена последовательности \(a_n = 8n - 6\) мы должны подставить значение \(n = 7\) в данное выражение:

\[a_7 = 8 \cdot 7 - 6 = 56 - 6 = 50\]

Таким образом, значение седьмого члена равно 50.

2. Для нахождения значения четвёртого члена последовательности, заданной рекуррентным соотношением \(a_1 = 2; a_{n+1} = 2a_n + 1\), мы можем использовать данное соотношение для последовательного нахождения следующих членов:

\[a_1 = 2\]
\[a_2 = 2 \cdot a_1 + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 5\]
\[a_3 = 2 \cdot a_2 + 1 = 2 \cdot 5 + 1 = 11\]
\[a_4 = 2 \cdot a_3 + 1 = 2 \cdot 11 + 1 = 23\]

Таким образом, значение четвёртого члена последовательности равно 23.

3. Для определения количества отрицательных членов в последовательности \(a_n = 8n - 5\) мы должны выяснить, при каких значениях \(n\) получается \(a_n < 0\). Найдём такие значения:

\[8n - 5 < 0\]
\[8n < 5\]
\[n < \frac{5}{8}\]

Результатом является неравенство \(n < \frac{5}{8}\). Так как \(n\) является натуральным числом, мы можем найти количество отрицательных членов, используя округление вниз значений \(\frac{5}{8}\):

Количество отрицательных членов = ⌊5/8⌋ = 0

Таким образом, последовательность \(a_n = 8n - 5\) не содержит отрицательных членов.

4. Для определения количества целых чисел входящих в последовательность \(a_n = 1 + \frac{24}{n + 3}\), мы должны выяснить, при каких значениях \(n\) получается, что \(a_n\) является целым числом. Найдём такие значения:

\[a_n = 1 + \frac{24}{n + 3}\]

Для того, чтобы \(\frac{24}{n + 3}\) было целым числом, \(n + 3\) должно делить 24 без остатка. Разложим 24 на множители:

\[24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3\]

Теперь посмотрим, при каких значениях \(n\) деление 24 на \(n + 3\) будет без остатка:

\(n + 3 = 1\) : не делится без остатка
\(n + 3 = 2\) : не делится без остатка
\(n + 3 = 3\) : делится без остатка
\(n + 3 = 4\) : делится без остатка
\(n + 3 = 6\) : делится без остатка
\(n + 3 = 8\) : делится без остатка
\(n + 3 = 12\) : делится без остатка
\(n + 3 = 24\) : делится без остатка

Таким образом, 8 чисел из последовательности \(a_n = 1 + \frac{24}{n + 3}\) являются целыми числами.

5. Чтобы найти максимальное значение члена последовательности \(p_n = \frac{13n + 2}{n}\), мы должны проанализировать изменение этого выражения при различных значениях \(n\). Для того, чтобы найти максимальное значение, мы можем взять предел функции \(p_n\) при \(n\) стремящемся к бесконечности:

\[\lim_{{n \to \infty}} p_n = \lim_{{n \to \infty}} \frac{13n + 2}{n}\]

Выполним деление числителя и знаменателя на \(n\):

\[\lim_{{n \to \infty}} (13 + \frac{2}{n}) = 13 + 0 = 13\]

Таким образом, максимальное значение члена последовательности \(p_n = \frac{13n + 2}{n}\) равно 13.