1) Найти значение переменной m, при котором угол между векторами а{4; 1; -2} и b{3; m; 2} будет: а) острым, б) прямым

1) Чтобы найти значение переменной m, при котором угол между векторами a{4; 1; -2} и b{3; m; 2} будет острым, прямым или тупым, мы воспользуемся формулой для нахождения угла между векторами.

Угол между векторами a и b вычисляется по формуле:

\[\cos\theta = \frac{{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}}{{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|}}\]

где \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) - скалярное произведение векторов a и b, \(|\mathbf{a}|\) - длина вектора a, \(|\mathbf{b}|\) - длина вектора b.

а) Для острого угла векторы a и b должны быть ортогональными и иметь положительные длины. Найдем сначала \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\):

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (4 \cdot 3) + (1 \cdot m) + (-2 \cdot 2)\)

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 12 + m - 4\)

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = m + 8\)

Теперь найдем длины векторов a и b:

\(|\mathbf{a}| = \sqrt{4^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{21}\)

\(|\mathbf{b}| = \sqrt{3^2 + m^2 + 2^2} = \sqrt{m^2 + 13}\)

Подставим эти значения в формулу угла:

\(\cos\theta = \frac{{m + 8}}{{\sqrt{21} \cdot \sqrt{m^2 + 13}}}\)

Этот угол будет острым, если \(\cos\theta\) будет положительным, то есть \(\frac{{m + 8}}{{\sqrt{21} \cdot \sqrt{m^2 + 13}}} > 0\).

Угол будет прямым, если \(\cos\theta = 0\) или \(\frac{{m + 8}}{{\sqrt{21} \cdot \sqrt{m^2 + 13}}} = 0\).

Угол будет тупым, если \(\cos\theta\) будет отрицательным, то есть \(\frac{{m + 8}}{{\sqrt{21} \cdot \sqrt{m^2 + 13}}} < 0\).

Теперь решим уравнения:

а) Для острого угла:
\(\frac{{m + 8}}{{\sqrt{21} \cdot \sqrt{m^2 + 13}}} > 0\)

Рассмотрим знаки выражения из знаменателя: \(\sqrt{21} > 0\) и \(\sqrt{m^2 + 13} > 0\) для любого значения m.
Тогда нам нужно рассмотреть знак выражения в числителе:
Если \(m + 8 > 0\), то выполняется условие.
Таким образом, при \(m > -8\) угол будет острым.

б) Для прямого угла:
\(\frac{{m + 8}}{{\sqrt{21} \cdot \sqrt{m^2 + 13}}} = 0\)

Здесь знаменатель не может быть равен нулю, поэтому угол не может быть прямым.

в) Для тупого угла:
\(\frac{{m + 8}}{{\sqrt{21} \cdot \sqrt{m^2 + 13}}} < 0\)

В этом случае нам нужно рассмотреть знак выражений и знаки выражения в числителе и знаменателе.
Заметим, что знаменатель всегда положителен, поэтому нам нужно чтобы \((m + 8) < 0\) для тупого угла.
Таким образом, при \(m < -8\) угол будет тупым.

2) Чтобы найти значения переменной k, при которых угол между векторами a{-2; 3; 1} и b{1; 4; -3}, таких что a + k * b, будет острым, прямым или тупым, мы снова воспользуемся формулой для нахождения угла между векторами.

а) Найдем сначала \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\):

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-2 \cdot 1) + (3 \cdot 4) + (1 \cdot -3)\)

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -2 + 12 - 3\)

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 7\)

Теперь найдем длины векторов a и b:

\(|\mathbf{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{14}\)

\(|\mathbf{b}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{26}\)

Подставим эти значения в формулу угла:

\(\cos\theta = \frac{7}{{\sqrt{14} \cdot \sqrt{26}}}\)

а) Для острого угла \(\cos\theta\) должно быть положительным, т.е. \(\frac{7}{{\sqrt{14} \cdot \sqrt{26}}} > 0\).

Чтобы выполнить это неравенство, числитель и знаменатель должны иметь одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные). Здесь числитель положительный, так что нам нужно, чтобы знаменатель был положительным.
Таким образом, угол будет острым при \(k > 0\).

б) Для прямого угла \(\cos\theta\) должно быть равно нулю, т.е. \(\frac{7}{{\sqrt{14} \cdot \sqrt{26}}} = 0\).
Это невозможно, так как знаменатель никогда не может быть равен нулю.

в) Для тупого угла \(\cos\theta\) должно быть отрицательным, т.е. \(\frac{7}{{\sqrt{14} \cdot \sqrt{26}}} < 0\).

Чтобы выполнить это неравенство, числитель и знаменатель должны иметь разные знаки (один положительный, другой отрицательный). Здесь числитель положительный, так что нам нужно, чтобы знаменатель был отрицательным.
Таким образом, угол будет тупым при \(k < 0\).

3) Чтобы найти значение переменной m, при котором угол между векторами c и b в треугольнике abc с вершинами a(m; -3; 2), b(9; -1; 3), и c(12; -5; -1) будет тупым, сначала найдем вектора ab и ac, а затем вычислим угол между ними.

Вектор ab = b - a = (9 - m; -1 + 3; 3 - 2) = (9 - m; 2; 1)
Вектор ac = c - a = (12 - m; -5 + 3; -1 - 2) = (12 - m; -2; -3)

Для тупого угла векторы ab и ac должны быть ортогональными, то есть их скалярное произведение должно быть равно нулю:

(9 - m)(12 - m) + 2(-2) + 1(-3) = 0

(108 - 21m - 12m + m^2) - 4 - 3 = 0

m^2 - 33m + 101 = 0

Дискриминант этого квадратного уравнения равен D = (-33)^2 - 4 * 1 * 101 = 1089 - 404 = 685

Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два решения.

Найдем множители этого уравнения: m = (-b ± √D) / (2a)
m = (-(-33) ± √685) / (2 * 1)
m = (33 ± √685) / 2

Таким образом, значения переменной m, при которых угол между векторами c и b будет тупым, равны \(m = \frac{{33 + \sqrt{685}}}{2}\) и \(m = \frac{{33 - \sqrt{685}}}{2}\).