Какова площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды PABCD с основанием длиной 32 и двугранным углом

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание формулы для площади боковой поверхности пирамиды с четырехугольным основанием.

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды можно найти, используя следующую формулу:
\[S = \frac{1}{2} \cdot p \cdot a\]
где \(p\) - периметр основания пирамиды и \(a\) - апофема пирамиды.

Для начала найдем периметр основания пирамиды. Так как основание является четырехугольником, который считается правильным, то все его стороны равны друг другу. Значит, каждая сторона основания равна \(32 / 4 = 8\).

Теперь, чтобы найти апофему пирамиды (\(a\)), нам нужно знать значение двугранного угла (\(arc\sin \sqrt{5/3}\)) при ребре основания. Для этого вспомним определение двугранного угла. Он определяется как угол между ребром пирамиды и плоскостью основания.

Так как у нас задан синус угла и равенство \(arc\sin \sqrt{5/3}\), то мы можем использовать обратную функцию синуса для нахождения значения самого угла. Обратная функция синуса (\(\sin^{-1}\)) даст нам радианы, но мы можем привести результат к градусам, умножив значение угла на \(\frac{180}{\pi}\).

Таким образом, мы можем вычислить значение двугранного угла:
\[angle = \sin^{-1} \sqrt{\frac{5}{3}} \times \frac{180}{\pi}\]

Теперь у нас есть все необходимые значения, чтобы вычислить площадь боковой поверхности пирамиды. Вставим значения в формулу:
\[S = \frac{1}{2} \cdot p \cdot a\]

\[S = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot a\]

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна \(16a\) (используем \(S\) для обозначения площади).

Получается, что ответ зависит от значения апофемы пирамиды (\(a\)), которую мы вычислили ранее с помощью двугранного угла.

Пожалуйста, уточните или предоставьте значение двугранного угла, чтобы мы могли продолжить вычисления и дать окончательный ответ.