Какова площадь треугольников, на которые диагонали разделяют трапецию, если ее площадь равна 27, а основания – 8

Для решения этой задачи, нам нужно использовать свойства трапеции и треугольника.

Известно, что площадь трапеции равна 27 и основания трапеции равны 8. Пусть основания трапеции обозначаются как \(a\) и \(b\), а диагонали обозначаются как \(d_1\) и \(d_2\).

Для начала, найдем высоту \(h\) трапеции, используя формулу площади трапеции:
\[27 = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h\]
\[54 = (a + b) \cdot h\]

Затем, воспользуемся свойством трапеции, гласящим, что сумма длин оснований, умноженная на высоту, равна удвоенной площади треугольника, на который диагонали разделяют трапецию.

Таким образом, площадь каждого треугольника будет равна:
\[\text{Площадь треугольника} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \quad \text{и} \quad \text{Площадь треугольника} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h\]

Подставим значение \(h\) в эти формулы:
\[\text{Площадь треугольника} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{54}{a + b} \quad \text{и} \quad \text{Площадь треугольника} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{54}{a + b}\]

Теперь нам нужно найти значения диагоналей \(d_1\) и \(d_2\). Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения диагоналей треугольника. Площадь треугольника можно выразить через диагонали как:
\[\text{Площадь треугольника} = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin(\theta)\]
где \(\theta\) - угол между диагоналями.

В нашем случае, так как диагонали разделяют трапецию, то \(\theta\) будет равно \(180^\circ\). Таким образом, угол между диагоналями будет прямым.

Уравнение для площади треугольника можно переписать следующим образом:
\[27 = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin(180^\circ)\]
\[\frac{27}{\sin(180^\circ)} = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2\]
\[d_1 \cdot d_2 = \frac{27}{\sin(180^\circ)}\]

Таким образом, мы получаем систему уравнений:
\[\frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{54}{a + b} = \frac{27}{\sin(180^\circ)}\]
\[\frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{54}{a + b} = \frac{27}{\sin(180^\circ)}\]

Чтобы найти площадь каждого треугольника, нужно решить эту систему уравнений относительно \(a\) и \(b\).

Ответ:
Площадь треугольников, на которые диагонали разделяют трапецию, равна \(\frac{27}{\sin(180^\circ)}\) по условию задачи.