1. Найти уравнение касательной к графику функции у = f(х) в точке графика с абсциссой х0, если: а) f(х)= х^2 + 6х-7, х0 = -2; б) f(х) = cosх, х0=1; в) f(х) = (x+2)^2, х0 = 2.
2. Найти уравнение касательной к графику функции у = f(х), параллельной прямой у = -зх + 4, где f(х)= х^3-зх^2-зх + 5.
3. Найти уравнение касательной к графику функции у = f(х), проходящей через точку a(0; -6), где f(х) = х^2 + 2х-2.
4. Найти уравнение общей касательной к графикам функций у = f(х) и у = g(х), где f(х) = х^2 + 2х + 4 и g(х) = -х^2-1.
2. Найти уравнение касательной к графику функции у = f(х), параллельной прямой у = -зх + 4, где f(х)= х^3-зх^2-зх + 5.
3. Найти уравнение касательной к графику функции у = f(х), проходящей через точку a(0; -6), где f(х) = х^2 + 2х-2.
4. Найти уравнение общей касательной к графикам функций у = f(х) и у = g(х), где f(х) = х^2 + 2х + 4 и g(х) = -х^2-1.
Radio
Давайте начнем с первой задачи.
1.а) Известно, что уравнение касательной к графику функции может быть записано в виде \(y = mx + c\), где \(m\) - наклон касательной, а \(c\) - точка, в которой касательная пересекает ось \(y\).
Для того чтобы найти наклон касательной, необходимо найти производную функции \(f(x)\) и подставить значение \(x = x_0\).
Дано: \(f(x) = x^2 + 6x - 7\) и \(x_0 = -2\).
Производная функции \(f(x)\) равна:
\[f"(x) = 2x + 6.\]
Теперь найдем значение \(f"(-2)\):
\[f"(-2) = 2 \cdot (-2) + 6 = 2.\]
Таким образом, наклон касательной равен 2.
Теперь найдем точку пересечения касательной с осью \(y\) подставив значения \(x = x_0\) и \(y = f(x_0)\) в уравнение, чтобы найти значение \(c\).
Подставив значения \(x_0 = -2\) и \(f(x_0) = f(-2) = (-2)^2 + 6 \cdot (-2) - 7 = -5\) в уравнение касательной \(y = mx + c\), получаем:
\[-5 = 2 \cdot (-2) + c.\]
Решая это уравнение относительно \(с\), получаем:
\[c = -1.\]
Таким образом, уравнение касательной к графику функции \(y = f(x) = x^2 + 6x - 7\) в точке графика с абсциссой \(х_0 = -2\) равно:
\[y = 2x - 1.\]
1.б) Теперь решим вторую задачу.
Для определения наклона касательной, в данном случае, нам понадобится найти производную функции \(f(x)\) и установить ее равенство наклону касательной.
Дано: \(f(x) = \cos x\) и \(x_0 = 1\).
Производная функции \(f(x)\) равна:
\[f"(x) = -\sin x.\]
Подставляя \(x = x_0\) получаем:
\[f"(1) = -\sin 1.\]
Таким образом, наклон касательной равен \(-\sin 1\).
Уравнение касательной может быть записано в виде \(y = mx + c\). Чтобы найти точку пересечения касательной с осью \(y\), подставим значения \(x_0\) и \(f(x_0)\) в уравнение и найдем \(c\).
Подставляя \(x_0 = 1\) и \(f(x_0) = f(1) = \cos 1\) в уравнение касательной \(y = mx + c\), получаем:
\[\cos 1 = -\sin 1 \cdot 1 + c.\]
Решаем это уравнение относительно \(c\):
\[c = \cos 1 + \sin 1.\]
Следовательно, уравнение касательной к графику функции \(y = f(x) = \cos x\) в точке графика с абсциссой \(x_0 = 1\) равно:
\[y = -\sin 1 \cdot x + (\cos 1 + \sin 1).\]
1.в) Перейдем к третьей задаче.
Изначально определим наклон касательной, найдя производную функции \(f(x)\) и подставив \(x = x_0\).
Дано: \(f(x) = (x+2)^2\) и \(x_0 = 2\).
Производная функции \(f(x)\) будет равна:
\[f"(x) = 2(x + 2).\]
Подставим \(x = x_0\), чтобы найти \(f"(x_0)\):
\[f"(2) = 2(2 + 2) = 8.\]
Наклон касательной равен 8.
Для определения точки пересечения касательной с осью \(y\), подставим значения \(x_0\) и \(f(x_0)\) в уравнение касательной и найдем \(c\).
Подставив \(x_0 = 2\) и \(f(x_0) = f(2) = (2+2)^2 = 16\) в уравнение касательной \(y = mx + c\), получаем:
\[16 = 8 \cdot 2 + c.\]
Решая это уравнение относительно \(c\), получаем:
\[c = 0.\]
Таким образом, уравнение касательной к графику функции \(y = f(x) = (x + 2)^2\) в точке графика с абсциссой \(x_0 = 2\) равно:
\[y = 8x.\]
2. Теперь перейдем ко второй задаче.
Уравнение касательной, параллельной данной прямой \(y = -3x + 4\), будет иметь такой же наклон (\(-3\)).
Для определения наклона касательной из функции \(f(x)\), найдем производную этой функции и приравняем ее к наклону (-3).
Дано: \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 3x + 5\).
Производная функции \(f(x)\) равна:
\[f"(x) = 3x^2 - 6x - 3.\]
Приравниваем \(f"(x)\) к наклону (-3) и решаем полученное уравнение:
\[3x^2 - 6x - 3 = -3.\]
Приводим его к стандартному виду:
\[3x^2 - 6x = 0.\]
Выделяем общий множитель:
\[3x(x - 2) = 0.\]
Таким образом, у нас есть два возможных значения \(x\): \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 2\).
Теперь, найдем соответствующие значения \(f(x_1)\) и \(f(x_2)\):
\[f(x_1) = f(0) = 5,\]
\[f(x_2) = f(2) = (2^3) - 3(2^2) - 3(2) + 5 = 3.\]
Таким образом, у нас есть две точки, через которые должна проходить касательная: \((0, 5)\) и \((2, 3)\).
Используем формулу для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки:
\[y - y_1 = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}(x - x_1).\]
Подставляем значения точек \((0, 5)\) и \((2, 3)\) в формулу:
\[y - 5 = \frac{{3 - 5}}{{2 - 0}}(x - 0).\]
Решаем это уравнение:
\[y - 5 = -1(x - 0),\]
\[y = -x + 5.\]
Таким образом, уравнение касательной к графику функции \(y = f(x) = x^3 - 3x^2 - 3x + 5\), параллельной прямой \(y = -3x + 4\), равно:
\[y = -x + 5.\]
3. Перейдем к третьей задаче.
Уравнение касательной к графику функции, проходящей через точку \(a(0, -6)\), будет иметь наклон, равный производной функции \(f(x)\), в этой точке.
Дано: \(f(x) = x^2 + 2x - 2\).
Найдем значение производной функции в точке \(x = 0\):
\[f"(0) = 2 \cdot 0 + 2 = 2.\]
Таким образом, наклон касательной в точке \(a\) равен 2.
Используем формулу уравнения касательной \(y = mx + c\) и подставляем значения \(m = 2\) и \(a(0, -6)\), чтобы найти значение \(c\):
\[-6 = 2 \cdot 0 + c.\]
Отсюда мы получаем:
\[c = -6.\]
Таким образом, уравнение касательной к графику функции \(y = f(x) = x^2 + 2x - 2\), проходящей через точку \(a(0, -6)\), равно:
\[y = 2x - 6.\]
4. Последняя задача требует нахождения общего уравнения касательной к двум графикам функций.
Дано: \(f(x) = x^2 + 2x + 4\) и \(g(x) = -x^2 - 1\).
Сначала найдем наклон касательной для каждой функции, рассчитав производные от этих функций в соответствующих точках.
Производная функции \(f(x)\) равна:
\[f"(x) = 2x + 2.\]
Производная функции \(g(x)\) равна:
\[g"(x) = -2x.\]
Чтобы найти точку пересечения касательных, приравняем \(f"(x)\) и \(g"(x)\):
\[2x + 2 = -2x.\]
Решив это уравнение, найдем значение \(x\):
\[4x = -2,\]
\[x = -0.5.\]
Теперь, найдем значения самих функций в этой точке:
\[f(-0.5) = (-0.5)^2 + 2(-0.5) + 4 = 0.75,\]
\[g(-0.5) = -(-0.5)^2 - 1 = -0.75.\]
Теперь, используем формулу для уравнения прямой, проходящей через две точки, чтобы найти уравнение касательной к графикам функций.
Уравнение прямой через точки \((-0.5, 0.75)\) и \((-0.5, -0.75)\) имеет вид:
\[y - 0.75 = \frac{{-0.75 - 0.75}}{{-0.5 - (-0.5)}}(x - (-0.5)).\]
Решив это уравнение, получим:
\[y = x.\]
Таким образом, уравнение общей касательной к графикам функций \(y = f(x) = x^2 + 2x + 4\) и \(y = g(x) = -x^2 - 1\) равно:
\[y = x.\]
Это все задачи, если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!
1.а) Известно, что уравнение касательной к графику функции может быть записано в виде \(y = mx + c\), где \(m\) - наклон касательной, а \(c\) - точка, в которой касательная пересекает ось \(y\).
Для того чтобы найти наклон касательной, необходимо найти производную функции \(f(x)\) и подставить значение \(x = x_0\).
Дано: \(f(x) = x^2 + 6x - 7\) и \(x_0 = -2\).
Производная функции \(f(x)\) равна:
\[f"(x) = 2x + 6.\]
Теперь найдем значение \(f"(-2)\):
\[f"(-2) = 2 \cdot (-2) + 6 = 2.\]
Таким образом, наклон касательной равен 2.
Теперь найдем точку пересечения касательной с осью \(y\) подставив значения \(x = x_0\) и \(y = f(x_0)\) в уравнение, чтобы найти значение \(c\).
Подставив значения \(x_0 = -2\) и \(f(x_0) = f(-2) = (-2)^2 + 6 \cdot (-2) - 7 = -5\) в уравнение касательной \(y = mx + c\), получаем:
\[-5 = 2 \cdot (-2) + c.\]
Решая это уравнение относительно \(с\), получаем:
\[c = -1.\]
Таким образом, уравнение касательной к графику функции \(y = f(x) = x^2 + 6x - 7\) в точке графика с абсциссой \(х_0 = -2\) равно:
\[y = 2x - 1.\]
1.б) Теперь решим вторую задачу.
Для определения наклона касательной, в данном случае, нам понадобится найти производную функции \(f(x)\) и установить ее равенство наклону касательной.
Дано: \(f(x) = \cos x\) и \(x_0 = 1\).
Производная функции \(f(x)\) равна:
\[f"(x) = -\sin x.\]
Подставляя \(x = x_0\) получаем:
\[f"(1) = -\sin 1.\]
Таким образом, наклон касательной равен \(-\sin 1\).
Уравнение касательной может быть записано в виде \(y = mx + c\). Чтобы найти точку пересечения касательной с осью \(y\), подставим значения \(x_0\) и \(f(x_0)\) в уравнение и найдем \(c\).
Подставляя \(x_0 = 1\) и \(f(x_0) = f(1) = \cos 1\) в уравнение касательной \(y = mx + c\), получаем:
\[\cos 1 = -\sin 1 \cdot 1 + c.\]
Решаем это уравнение относительно \(c\):
\[c = \cos 1 + \sin 1.\]
Следовательно, уравнение касательной к графику функции \(y = f(x) = \cos x\) в точке графика с абсциссой \(x_0 = 1\) равно:
\[y = -\sin 1 \cdot x + (\cos 1 + \sin 1).\]
1.в) Перейдем к третьей задаче.
Изначально определим наклон касательной, найдя производную функции \(f(x)\) и подставив \(x = x_0\).
Дано: \(f(x) = (x+2)^2\) и \(x_0 = 2\).
Производная функции \(f(x)\) будет равна:
\[f"(x) = 2(x + 2).\]
Подставим \(x = x_0\), чтобы найти \(f"(x_0)\):
\[f"(2) = 2(2 + 2) = 8.\]
Наклон касательной равен 8.
Для определения точки пересечения касательной с осью \(y\), подставим значения \(x_0\) и \(f(x_0)\) в уравнение касательной и найдем \(c\).
Подставив \(x_0 = 2\) и \(f(x_0) = f(2) = (2+2)^2 = 16\) в уравнение касательной \(y = mx + c\), получаем:
\[16 = 8 \cdot 2 + c.\]
Решая это уравнение относительно \(c\), получаем:
\[c = 0.\]
Таким образом, уравнение касательной к графику функции \(y = f(x) = (x + 2)^2\) в точке графика с абсциссой \(x_0 = 2\) равно:
\[y = 8x.\]
2. Теперь перейдем ко второй задаче.
Уравнение касательной, параллельной данной прямой \(y = -3x + 4\), будет иметь такой же наклон (\(-3\)).
Для определения наклона касательной из функции \(f(x)\), найдем производную этой функции и приравняем ее к наклону (-3).
Дано: \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 3x + 5\).
Производная функции \(f(x)\) равна:
\[f"(x) = 3x^2 - 6x - 3.\]
Приравниваем \(f"(x)\) к наклону (-3) и решаем полученное уравнение:
\[3x^2 - 6x - 3 = -3.\]
Приводим его к стандартному виду:
\[3x^2 - 6x = 0.\]
Выделяем общий множитель:
\[3x(x - 2) = 0.\]
Таким образом, у нас есть два возможных значения \(x\): \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 2\).
Теперь, найдем соответствующие значения \(f(x_1)\) и \(f(x_2)\):
\[f(x_1) = f(0) = 5,\]
\[f(x_2) = f(2) = (2^3) - 3(2^2) - 3(2) + 5 = 3.\]
Таким образом, у нас есть две точки, через которые должна проходить касательная: \((0, 5)\) и \((2, 3)\).
Используем формулу для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки:
\[y - y_1 = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}(x - x_1).\]
Подставляем значения точек \((0, 5)\) и \((2, 3)\) в формулу:
\[y - 5 = \frac{{3 - 5}}{{2 - 0}}(x - 0).\]
Решаем это уравнение:
\[y - 5 = -1(x - 0),\]
\[y = -x + 5.\]
Таким образом, уравнение касательной к графику функции \(y = f(x) = x^3 - 3x^2 - 3x + 5\), параллельной прямой \(y = -3x + 4\), равно:
\[y = -x + 5.\]
3. Перейдем к третьей задаче.
Уравнение касательной к графику функции, проходящей через точку \(a(0, -6)\), будет иметь наклон, равный производной функции \(f(x)\), в этой точке.
Дано: \(f(x) = x^2 + 2x - 2\).
Найдем значение производной функции в точке \(x = 0\):
\[f"(0) = 2 \cdot 0 + 2 = 2.\]
Таким образом, наклон касательной в точке \(a\) равен 2.
Используем формулу уравнения касательной \(y = mx + c\) и подставляем значения \(m = 2\) и \(a(0, -6)\), чтобы найти значение \(c\):
\[-6 = 2 \cdot 0 + c.\]
Отсюда мы получаем:
\[c = -6.\]
Таким образом, уравнение касательной к графику функции \(y = f(x) = x^2 + 2x - 2\), проходящей через точку \(a(0, -6)\), равно:
\[y = 2x - 6.\]
4. Последняя задача требует нахождения общего уравнения касательной к двум графикам функций.
Дано: \(f(x) = x^2 + 2x + 4\) и \(g(x) = -x^2 - 1\).
Сначала найдем наклон касательной для каждой функции, рассчитав производные от этих функций в соответствующих точках.
Производная функции \(f(x)\) равна:
\[f"(x) = 2x + 2.\]
Производная функции \(g(x)\) равна:
\[g"(x) = -2x.\]
Чтобы найти точку пересечения касательных, приравняем \(f"(x)\) и \(g"(x)\):
\[2x + 2 = -2x.\]
Решив это уравнение, найдем значение \(x\):
\[4x = -2,\]
\[x = -0.5.\]
Теперь, найдем значения самих функций в этой точке:
\[f(-0.5) = (-0.5)^2 + 2(-0.5) + 4 = 0.75,\]
\[g(-0.5) = -(-0.5)^2 - 1 = -0.75.\]
Теперь, используем формулу для уравнения прямой, проходящей через две точки, чтобы найти уравнение касательной к графикам функций.
Уравнение прямой через точки \((-0.5, 0.75)\) и \((-0.5, -0.75)\) имеет вид:
\[y - 0.75 = \frac{{-0.75 - 0.75}}{{-0.5 - (-0.5)}}(x - (-0.5)).\]
Решив это уравнение, получим:
\[y = x.\]
Таким образом, уравнение общей касательной к графикам функций \(y = f(x) = x^2 + 2x + 4\) и \(y = g(x) = -x^2 - 1\) равно:
\[y = x.\]
Это все задачи, если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
