1. Найти середину отрезка, определенного точками А(-1;3;4) и В(5;9;3). Определить координаты точки С, если точка

1. Чтобы найти середину отрезка, определенного точками А(-1;3;4) и В(5;9;3), мы можем использовать следующую формулу:
\[ \frac{{x_1 + x_2}}{2}, \frac{{y_1 + y_2}}{2}, \frac{{z_1 + z_2}}{2} \]

Где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты точек А и В соответственно.

Подставляя значения, получаем:
\[
\left(\frac{{-1 + 5}}{2}, \frac{{3 + 9}}{2}, \frac{{4 + 3}}{2}\right) = (2, 6, 3)
\]

Точка С является серединой отрезка AC, поэтому координаты точки С равны (2, 6, 3).

Чтобы найти расстояние от точки А до плоскости Оху, мы можем использовать формулу:
\[ d = \frac{{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}} \]

Где (x0, y0, z0) - координаты точки А, а (A, B, C) - коэффициенты плоскости Оху (в нашем случае A = 1, B = 0, C = 0, D = 0, так как плоскость Оху имеет уравнение x = 0).

Подставляя значения, получаем:
\[
d = \frac{{|-1 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 0|}}{{\sqrt{{1^2 + 0^2 + 0^2}}}} = 0
\]

Таким образом, расстояние от точки А до плоскости Оху равно 0.

2. Чтобы найти сумму длин векторов а{-3;1;10} и b{12;3;2}, мы можем использовать формулу для сложения векторов:
\[ c = \left(a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z\right) \]

Подставляя значения, получаем:
\[
c = \left(-3 + 12, 1 + 3, 10 + 2\right) = (9, 4, 12)
\]

Длина вектора c равна:
\[
\sqrt{9^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 16 + 144} = \sqrt{241}
\]

3. Чтобы доказать, что треугольник АВС является равнобедренным, нам нужно убедиться, что длины двух его боковых сторон равны.

Длина стороны AB:
\[
\sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 1)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}
\]

Длина стороны AC:
\[
\sqrt{(2 - 1)^2 + (0 - 2)^2 + (3 - 4)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}
\]

Мы видим, что длины сторон AB и AC равны (обе равны \(\sqrt{6}\)), следовательно, треугольник АВС является равнобедренным.

Чтобы найти длину средней линии треугольника, соединяющей его боковые стороны, мы можем использовать формулу:
\[
\frac{1}{2}\sqrt{(AB)^2 + (AC)^2}
\]

Подставляя значения, получаем:
\[
\frac{1}{2}\sqrt{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{6})^2} = \frac{1}{2}\sqrt{6 + 6} = \frac{1}{2}\sqrt{12} = \frac{1}{2}\sqrt{4 \cdot 3} = \frac{2}{\sqrt{3}}
\]

Таким образом, длина средней линии треугольника АВС равна \(\frac{2}{\sqrt{3}}\).