1. Найти координаты четвертой вершины параллелограмма, у которого три вершины заданы координатами а(-6; -4), b(-4

Ура, впереди нас ждет несколько увлекательных математических задач! Давайте начнем с первой.

1. Чтобы найти координаты четвертой вершины параллелограмма, нам нужно использовать свойство параллелограмма, которое гласит, что противоположные вершины параллелограмма имеют одинаковые смещения относительно его центра. В нашем случае, противоположной вершиной к точке а(-6; -4) является точка с(1; 5).

Найдем центр параллелограмма, сложив координаты вершин а и с и разделив результат на 2:
\[ \text{Центр} = \left(\frac{{-6+1}}{2}; \frac{{-4+5}}{2}\right) = (-2.5; 0.5)\]

Теперь мы знаем центр параллелограмма. Чтобы найти четвертую вершину, нужно сделать симметричное отображение точки с относительно центра:
\[ X = 2 \cdot \text{Центр} - \text{с} = 2 \cdot (-2.5; 0.5) - (1; 5)\]
\[ X = (-5; 1) - (1; 5) = (-6; 4)\]

Таким образом, координаты четвертой вершины параллелограмма равны (-6, 4).

2. Чтобы прямые am и bm были перпендикулярными, их угловой коэффициент должен быть равен -1. Угловой коэффициент прямой равен отношению приращения ординаты к приращению абсциссы \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Даны точки a(-3; 1) и b(3; -7). Вычислим угловые коэффициенты прямых am и bm:
\[ m_{am} = \frac{{-7-1}}{{3-(-3)}} = \frac{{-8}}{{6}} = -\frac{{4}}{{3}}\]
\[ m_{bm} = \frac{{-7-1}}{{3-(-3)}} = \frac{{-8}}{{6}} = -\frac{{4}}{{3}}\]

Мы видим, что угловые коэффициенты прямых am и bm равны и равны -\(\frac{4}{3}\), что означает, что прямые am и bm уже перпендикулярными. Таким образом, любая точка на оси ординат будет удовлетворять условию.

3. Чтобы найти точку на оси ординат, находящуюся на одинаковом расстоянии от начала координат и прямой 3х - 4у + 12 = 0, нужно воспользоваться формулой для расстояния между точкой и прямой. Известно, что расстояние между точкой (x0, y0) и прямой Ax + By + C = 0 равно:
\[ \text{расстояние} = \frac{{|Ax0 + By0 + C|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2}}}}\]

В нашем случае, начало координат имеет координаты (0, 0), а прямая 3х - 4у + 12 = 0 имеет коэффициенты A = 3, B = -4 и C = 12. Подставим значения в формулу:
\[ \text{расстояние} = \frac{{|3 \cdot 0 - 4 \cdot y + 12|}}{{\sqrt{{3^2 + (-4)^2}}}}\]
\[ \text{расстояние} = \frac{{|-4y + 12|}}{{5}}\]

Мы хотим, чтобы это расстояние равнялось расстоянию до начала координат, то есть \(\frac{{|-4y + 12|}}{{5}} = y\).

Теперь, чтобы найти точку на оси ординат, у которой расстояние до начала координат и расстояние до прямой равны, нужно решить уравнение \(\frac{{|-4y + 12|}}{{5}} = y\):
\[-4y + 12 = 5y \quad \text{или} \quad -4y + 12 = -5y\]

Решая каждое уравнение по отдельности, получим два возможных значения для y:
\[-4y + 12 = 5y \Rightarrow 9y = 12 \Rightarrow y = \frac{4}{3}\]
\[-4y + 12 = -5y \Rightarrow y = 12\]

Таким образом, точки на оси ординат, которые находятся на одинаковом расстоянии от начала координат и от прямой 3х - 4у + 12 = 0, равны (0, 12) и (0, \(\frac{4}{3}\)).

4. Для того чтобы найти значения m и t, при которых плоскости 3х + my + 2z - 7 = 0 и -4у - 4z + 3 = 0 будут параллельными, нужно убедиться, что векторы нормалей этих плоскостей коллинеарны.

Начнем с выражения общего уравнения плоскости через вектор нормали: Ax + By + Cz + D = 0.

У первой плоскости 3х + my + 2z - 7 = 0 коэффициенты A = 3, B = m, C = 2. А у второй плоскости -4у - 4z + 3 = 0 коэффициенты A = 0, B = -4, C = -4.

Подставим значения в требуемое условие коллинеарности векторов нормалей:
\[\frac{{A_1}}{{A_2}} = \frac{{B_1}}{{B_2}} = \frac{{C_1}}{{C_2}}\]
\[\frac{{3}}{{0}} = \frac{{m}}{{-4}} = \frac{{2}}{{-4}}\]

Из первых двух дробей видно, что \(\frac{{m}}{{-4}}\) = \(\frac{{3}}{{0}}\) = \(\infty\), что означает, что эти две дроби равны бесконечности.

Получаем, что \(\frac{{m}}{{-4}} = \frac{{3}}{{0}}\) или \(m \cdot 0 = -4 \cdot 3\). Бесконечность умноженная на ноль равна -4 умножить на 3. Однако, такое уравнение не имеет решений, потому что оно противоречит логике математики. В итоге, плоскости 3х + my + 2z - 7 = 0 и -4у - 4z + 3 = 0 не могут быть параллельными.

5. Извините, но я не совсем понимаю вашу последнюю просьбу "Написать текст". Если у вас есть еще вопросы по предыдущим задачам или есть другие задачи, которые вы хотели бы решить, пожалуйста, сообщите мне и я буду рад помочь!