1. Найти десятый член и сумму первых десяти членов арифметической прогрессии (a_n ), если первый член равен 2, а второй

Конечно! Давайте начнем с решения первой задачи:

1. Чтобы найти десятый член арифметической прогрессии ( \(a_n\) ), нам нужно знать первый член (\(a_1\)), второй член (\(a_2\)) и шаг (\(d\)) арифметической прогрессии.

В данной задаче первый член равен 2, а второй член равен 6. Чтобы найти шаг (\(d\)), мы можем использовать формулу \(d = a_2 - a_1\). Подставляя значения, получим \(d = 6 - 2 = 4\).

Теперь, чтобы найти десятый член (\(a_{10}\)), мы можем использовать формулу \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\). Подставляя значения, получим \(a_{10} = 2 + (10-1) \cdot 4 = 2 + 9 \cdot 4 = 2 + 36 = 38\).

Чтобы найти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, мы можем использовать формулу \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\). Подставляя значения, получим \(S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 + 38) = 5 \cdot 40 = 200\).

Таким образом, десятый член арифметической прогрессии равен 38, а сумма первых десяти членов равна 200.

2. Для нахождения третьего члена геометрической прогрессии (\(b_n\)) с заданным первым членом (\(b_1\)) и знаменателем (\(q\)), мы можем использовать формулу \(b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)}\).

В данной задаче первый член равен -1/25, а знаменатель равен 5. Подставляя значения, получим \(b_3 = \left(-\frac{1}{25}\right) \cdot 5^{(3-1)} = -\frac{1}{25} \cdot 5^2 = -\frac{1}{25} \cdot 25 = -1\).

Чтобы найти сумму первых четырех членов геометрической прогрессии, мы можем использовать формулу \(S_n = \frac{b_1 \cdot (q^n - 1)}{q - 1}\). Подставляя значения, получим \(S_4 = \frac{\left(-\frac{1}{25}\right) \cdot \left(5^4 - 1\right)}{5 - 1} = \frac{-\frac{1}{25} \cdot (625 - 1)}{4} = \frac{-\frac{624}{25}}{4} = -\frac{624}{100} = -6.24\).

Таким образом, третий член геометрической прогрессии равен -1, а сумма первых четырех членов равна -6.24.

3. Похоже, что в данной задаче даны первые несколько членов бесконечной геометрической прогрессии. Чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, нам нужно знать первый член (\(b_1\)) и знаменатель (\(q\)) геометрической прогрессии.

По данной последовательности {-4, 1, -1/4, ...} очевидно, что первый член (\(b_1\)) равен -4, а знаменатель (\(q\)) равен -1/4 (так как каждый следующий член получается путем деления предыдущего члена на -4).

Формула для суммы бесконечной геометрической прогрессии, когда \(-1 < q < 1\), выглядит так: \(S = \frac{b_1}{1-q}\). Подставляя значения, получим \(S = \frac{-4}{1 - (-\frac{1}{4})} = \frac{-4}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{-4}{\frac{5}{4}} = \frac{-4}{5} = -\frac{4}{5}\).

Таким образом, сумма бесконечной геометрической прогрессии {-4, 1, -1/4, ...} равна -4/5.

4. Чтобы найти порядковый номер члена \(a_n\) в арифметической прогрессии, мы можем использовать формулу \(n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1\), где \(a_n\) - искомый член, \(a_1\) - первый член, \(d\) - шаг арифметической прогрессии.

В данной задаче первый член равен 1.4, а шаг равен 0.5. Подставляя значения и подсчитывая, получим \(n = \frac{4.9 - 1.4}{0.5} + 1 = \frac{3.5}{0.5} + 1 = 7 + 1 = 8\).

Таким образом, порядковый номер члена 4.9 в арифметической прогрессии равен 8.

5. Чтобы найти два числа, которые нужно вставить между 4 и -108, чтобы образовалась геометрическая прогрессия, нам нужно выяснить знаменатель (\(q\)) геометрической прогрессии.

Мы знаем, что третий член геометрической прогрессии равен -108 и первый член равен 4. Также нам даны два места, где нужно вставить числа.

Чтобы найти \(q\), мы можем использовать формулу \(q = \sqrt[n]{\frac{b_n}{b_1}}\), где \(n\) - количество чисел в прогрессии.

В данном случае третий член равен -108 и первый член равен 4. Следовательно, мы можем выразить \(q\) следующим образом: \(q = \sqrt[3]{\frac{-108}{4}}\).

Вычисляя это, получаем: \(q = \sqrt[3]{\frac{-108}{4}} = \sqrt[3]{-27} = -3\).

Теперь у нас есть знаменатель (\(q = -3\)) геометрической прогрессии. Мы можем использовать его, чтобы найти недостающие числа, используя формулу \(a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}\).

Подставляя значения, мы получаем:
Первое вставляемое число: \(a_2 = 4 \cdot (-3)^1 = -12\).
Второе вставляемое число: \(a_3 = 4 \cdot (-3)^2 = 36\).

Таким образом, чтобы образовалась геометрическая прогрессия вместе с числами 4 и -108, нужно вставить числа -12 и 36.

6. Прошу прощения, но вы не продолжили кодирование задачи 6. Пожалуйста, продолжите, и я буду рад помочь!