1. Найдите значения, используя теоремы сложения: а) sin(285) б) cos^2(15) - cos^2(75) в) cos(165) г) 1 + tg^2(9/2

Хорошо, давайте решим каждую задачу по очереди.

Задача 1:
а) Чтобы найти значение sin(285), мы можем использовать теорему сложения sin(α + β) = sin(α) * cos(β) + cos(α) * sin(β). В данном случае α = 270 и β = 15. Подставим значения:
sin(285) = sin(270 + 15) = sin(270) * cos(15) + cos(270) * sin(15) = -1 * cos(15) + 0 * sin(15) = -cos(15).

б) Чтобы найти значение cos^2(15) - cos^2(75), мы также можем использовать теорему сложения cos^2(α + β) = cos^2(α) * cos^2(β) - sin^2(α) * sin^2(β). В данном случае α = 60 и β = -45. Подставим значения:
cos^2(15) - cos^2(75) = cos^2(60 - 45) = cos^2(60) * cos^2(-45) - sin^2(60) * sin^2(-45) = (1/4) * (1/2) - (3/4) * (1/2) = 1/8 - 3/8 = -1/4.

в) Чтобы найти значение cos(165), мы можем использовать теорему сложения cos(α + β) = cos(α) * cos(β) - sin(α) * sin(β). В данном случае α = 150 и β = 15. Подставим значения:
cos(165) = cos(150 + 15) = cos(150) * cos(15) - sin(150) * sin(15) = (-√3/2) * cos(15) - (1/2) * sin(15).

г) Чтобы найти значение 1 + tg^2(9/2) * tg(9), мы можем использовать теорему сложения tg(α + β) = (tg(α) + tg(β)) / (1 - tg(α) * tg(β)). В данном случае α = 4.5 и β = 4.5. Подставим значения:
1 + tg^2(9/2) * tg(9) = 1 + (tg(4.5) + tg(4.5))^2 / (1 - tg(4.5) * tg(4.5)).

д) Чтобы найти значение sin(10) * cos(20) + cos(10) * sin(20) / (cos(10) * cos(11) - sin(19) * sin(11)), мы можем использовать теорему сложения sin(α + β) = sin(α) * cos(β) + cos(α) * sin(β). В данном случае α = 10 и β = 20. Подставим значения:
sin(10) * cos(20) + cos(10) * sin(20) / (cos(10) * cos(11) - sin(19) * sin(11)) = sin(10 + 20) / (cos(10) * cos(11) - sin(19) * sin(11)) = sin(30) / (cos(10) * cos(11) - sin(19) * sin(11)).

е) Чтобы найти значение sin(18), мы можем использовать теорему сложения sin(α + β) = sin(α) * cos(β) + cos(α) * sin(β). В данном случае α = 9 и β = 9. Подставим значения:
sin(18) = sin(9 + 9) = sin(9) * cos(9) + cos(9) * sin(9).

Задача 2:
Дано: cos(x) = 5/13, где x ∈ [0, π/2].
Мы хотим найти значения sin(2x), cos(2x), ctg(2x) и tg(2x).

Мы знаем, что cos^2(x) + sin^2(x) = 1.
Подставим значение cos(x) = 5/13:
(5/13)^2 + sin^2(x) = 1,
25/169 + sin^2(x) = 1,
sin^2(x) = 1 - 25/169,
sin^2(x) = 144/169,
sin(x) = ±√(144/169).

Так как x находится в интервале [0, π/2], sin(x) будет положительным.
sin(x) = √(144/169) = 12/13.

Теперь мы можем использовать формулы двойного угла:
sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x),
cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x),
ctg(2x) = cos(2x) / sin(2x),
tg(2x) = sin(2x) / cos(2x).

Подставим значения sin(x) и cos(x):
sin(2x) = 2 * (12/13) * (5/13),
cos(2x) = (5/13)^2 - (12/13)^2,
ctg(2x) = cos(2x) / sin(2x),
tg(2x) = sin(2x) / cos(2x).

Задача 3:
а) Мы хотим переписать выражение (sin(6) + sin(24)) / (cos(6) + cos(24)) в виде произведения.
Для этого мы можем использовать формулу сложения sin(α + β) = sin(α) * cos(β) + cos(α) * sin(β) и найденные значения sin(6), sin(24), cos(6) и cos(24).
Выразим sin(α) и cos(α) через sin(6) и cos(6):
sin(α) = sin(6),
cos(α) = cos(6).
Выразим sin(β) и cos(β) через sin(24) и cos(24):
sin(β) = sin(24),
cos(β) = cos(24).
Подставим значения:
(sin(6) + sin(24)) / (cos(6) + cos(24)) = (sin(6) * cos(24) + cos(6) * sin(24)) / (cos(6) + cos(24)).

б) Мы хотим переписать выражение (sin(25) + sin(5)) / (cos(5) - cos(25)) в виде произведения.
Для этого мы можем использовать формулу сложения sin(α + β) = sin(α) * cos(β) + cos(α) * sin(β) и найденные значения sin(5), sin(25), cos(5) и cos(25).
Выразим sin(α) и cos(α) через sin(5) и cos(5):
sin(α) = sin(5),
cos(α) = cos(5).
Выразим sin(β) и cos(β) через sin(25) и cos(25):
sin(β) = sin(25),
cos(β) = cos(25).
Подставим значения:
(sin(25) + sin(5)) / (cos(5) - cos(25)) = (sin(5) * cos(25) + cos(5) * sin(25)) / (cos(5) - cos(25)).

Задача 4:
а) Мы хотим переписать произведение 2 * cos(18) * cos(66) в виде суммы.
Для этого мы можем использовать формулу сложения cos(α + β) = cos(α) * cos(β) - sin(α) * sin(β) и найденные значения cos(18) и cos(66).
Подставим значения:
2 * cos(18) * cos(66) = 2 * (cos(18) * cos(66)) - (sin(18) * sin(66)).

б) Мы хотим переписать произведение sin(52°30") * sin(7°30") в виде суммы.
Для этого мы можем использовать формулу сложения sin(α + β) = sin(α) * cos(β) + cos(α) * sin(β) и найденные значения sin(52°30") и sin(7°30").
Подставим значения:
sin(52°30") * sin(7°30") = (sin(52°30") * cos(7°30")) + (cos(52°30") * sin(7°30")).

в) Мы хотим переписать произведение 2 * cos(π/8) * cos(π/5) в виде суммы.
Для этого мы можем использовать формулу сложения cos(α + β) = cos(α) * cos(β) - sin(α) * sin(β) и найденные значения cos(π/8) и cos(π/5).
Подставим значения:
2 * cos(π/8) * cos(π/5) = 2 * (cos(π/8) * cos(π/5)) - (sin(π/8) * sin(π/5)).

г) Мы хотим переписать произведение cos(π/12) * cos(π/12) в виде суммы.
Для этого мы можем использовать формулу сложения cos(α + β) = cos(α) * cos(β) - sin(α) * sin(β) и найденные значения cos(π/12) и cos(π/12).
Подставим значения:
cos(π/12) * cos(π/12) = (cos(π/12) * cos(π/12)) - (sin(π/12) * sin(π/12)).

Надеюсь, это объяснение поможет вам лучше понять каждую задачу и получить правильный ответ. Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.