1. Найдите значение длины дуги окружности с радиусом 4 см и градусной мерой 120°. 2. Определите площадь круга, если

1. Длина дуги окружности можно определить по формуле $L=\frac{2\pi r\cdot \theta }{{360}^{\circ }}$, где $L$ - длина дуги, $r$ - радиус окружности, а $\theta$ - градусная мера дуги.
Подставляя значения в формулу, получаем:
$$L=\frac{2\pi \cdot 4\cdot 120}{360}=\frac{8\pi \cdot 120}{360}=\frac{960\pi }{360}=\frac{8\pi }{3}\approx 8.38см.$$

2. Площадь вписанного в круг квадрата равна половине произведения диагоналей этого квадрата.
Если площадь вписанного квадрата равна 36 дм², то его диагональ можно найти по формуле $d=\sqrt{2S}$, где $d$ - диагональ квадрата, а $S$ - площадь квадрата.
Подставляя значение площади в формулу, получаем:
$$d=\sqrt{2\cdot 36}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}дм.$$
Для нахождения площади круга, зная диагональ квадрата, нужно воспользоваться формулой площади круга $S=\pi r^2$, где $r$ - радиус круга.
Радиус круга равен половине диагонали квадрата, то есть $\frac{d}{2}$. Подставляя значение радиуса в формулу, получаем:
$$S=\pi {\left(\frac{6\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\pi \cdot \frac{36\cdot 2}{4}=18\pi дм².$$

3. Правильный шестиугольник можно разделить на 6 равных равносторонних треугольников. Если сторона шестиугольника равна 12 см, то сторона каждого треугольника равна $\frac{12}{6}=2$ см.
Площадь одного треугольника можно найти по формуле $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, где $S$ - площадь треугольника, а $a$ - длина стороны треугольника.
Подставляя значение стороны в формулу, получаем:
$$S_{\text{треугольника}}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}с{м}^2.$$
Так как шестиугольник состоит из шести таких треугольников, то площадь шестиугольника равна $6\cdot \sqrt{3}=6\sqrt{3}с{м}^2$.
Площадь оставшейся части окружности можно найти вычитанием площади шестиугольника из площади окружности.
Площадь окружности можно найти по формуле $S_{\text{окр}}=\pi r^2$, где $r$ - радиус окружности.
Радиус окружности равен половине стороны шестиугольника, то есть $\frac{12}{2}=6$ см. Подставляя значение радиуса в формулу, получаем:
$$S_{\text{окр}}=\pi \cdot 6^2=36\pi с{м}^2.$$
Тогда площадь оставшейся части окружности равна $36\pi -6\sqrt{3}с{м}^2$.

4. Чтобы построить чертеж круга, в котором вписан правильный треугольник, нужно сначала найти радиус этого круга.
В правильном треугольнике со стороной 8 см известно, что высота равна $\frac{\sqrt{3}}{2}a$, где $a$ - длина стороны треугольника.
Радиус круга с вписанным треугольником равен радиусу описанной окружности вокруг этого треугольника, а формулу для радиуса описанной окружности можно найти по формуле $R=\frac{a}{2\sin \frac{\pi }{3}}$, где $R$ - радиус описанной окружности, а $a$ - длина стороны треугольника.
Подставляя значение стороны в формулу, получаем:
$$R=\frac{8}{2\sin \frac{\pi }{3}}=\frac{8}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}см.$$
Построим круг с центром и радиусом, найденными выше.

5. Значение длины дуги окружности, ограничивающей данный круг, можно найти по формуле $L=2\pi r$, где $L$ - длина дуги, $r$ - радиус окружности.
Радиус окружности можно найти, зная сторону вписанного в данную окружность квадрата.
Диагональ вписанного квадрата равна диаметру окружности, а диаметр равен удвоенному радиусу.
Поэтому радиус окружности можно найти делением диагонали квадрата на два, то есть $\frac{d}{2}$, где $d$ - длина диагонали квадрата.
Плодставляя значение радиуса в формулу, получаем:
$$L=2\pi \cdot \frac{d}{2}=\pi d.$$
Итак, значение длины дуги окружности равно $\pi d$, где $d$ - длина диагонали вписанного квадрата.