1. Найдите значение длины дуги окружности с радиусом 4 см и градусной мерой 120°. 2. Определите площадь круга, если

1. Длина дуги окружности можно определить по формуле \(L = \frac{2\pi r \cdot \theta}{360^{\circ}}\), где \(L\) - длина дуги, \(r\) - радиус окружности, а \(\theta\) - градусная мера дуги.
Подставляя значения в формулу, получаем:
\[L = \frac{2\pi \cdot 4 \cdot 120}{360} = \frac{8\pi \cdot 120}{360} = \frac{960\pi}{360} = \frac{8\pi}{3} \approx 8.38\,см.\]

2. Площадь вписанного в круг квадрата равна половине произведения диагоналей этого квадрата.
Если площадь вписанного квадрата равна 36 дм², то его диагональ можно найти по формуле \(d = \sqrt{2S}\), где \(d\) - диагональ квадрата, а \(S\) - площадь квадрата.
Подставляя значение площади в формулу, получаем:
\[d = \sqrt{2\cdot36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \,дм.\]
Для нахождения площади круга, зная диагональ квадрата, нужно воспользоваться формулой площади круга \(S = \pi r^2\), где \(r\) - радиус круга.
Радиус круга равен половине диагонали квадрата, то есть \(\frac{d}{2}\). Подставляя значение радиуса в формулу, получаем:
\[S = \pi \left(\frac{6\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{36 \cdot 2}{4} = 18\pi \,дм².\]

3. Правильный шестиугольник можно разделить на 6 равных равносторонних треугольников. Если сторона шестиугольника равна 12 см, то сторона каждого треугольника равна \(\frac{12}{6} = 2\) см.
Площадь одного треугольника можно найти по формуле \(S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), где \(S\) - площадь треугольника, а \(a\) - длина стороны треугольника.
Подставляя значение стороны в формулу, получаем:
\[S_{\text{треугольника}} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \,см^2.\]
Так как шестиугольник состоит из шести таких треугольников, то площадь шестиугольника равна \(6 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}\,см^2\).
Площадь оставшейся части окружности можно найти вычитанием площади шестиугольника из площади окружности.
Площадь окружности можно найти по формуле \(S_{\text{окр}} = \pi r^2\), где \(r\) - радиус окружности.
Радиус окружности равен половине стороны шестиугольника, то есть \(\frac{12}{2} = 6\) см. Подставляя значение радиуса в формулу, получаем:
\[S_{\text{окр}} = \pi \cdot 6^2 = 36\pi \,см^2.\]
Тогда площадь оставшейся части окружности равна \(36\pi - 6\sqrt{3} \,см^2\).

4. Чтобы построить чертеж круга, в котором вписан правильный треугольник, нужно сначала найти радиус этого круга.
В правильном треугольнике со стороной 8 см известно, что высота равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}a\), где \(a\) - длина стороны треугольника.
Радиус круга с вписанным треугольником равен радиусу описанной окружности вокруг этого треугольника, а формулу для радиуса описанной окружности можно найти по формуле \(R = \frac{a}{2\sin\frac{\pi}{3}}\), где \(R\) - радиус описанной окружности, а \(a\) - длина стороны треугольника.
Подставляя значение стороны в формулу, получаем:
\[R = \frac{8}{2\sin\frac{\pi}{3}} = \frac{8}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \,см.\]
Построим круг с центром и радиусом, найденными выше.

5. Значение длины дуги окружности, ограничивающей данный круг, можно найти по формуле \(L = 2\pi r\), где \(L\) - длина дуги, \(r\) - радиус окружности.
Радиус окружности можно найти, зная сторону вписанного в данную окружность квадрата.
Диагональ вписанного квадрата равна диаметру окружности, а диаметр равен удвоенному радиусу.
Поэтому радиус окружности можно найти делением диагонали квадрата на два, то есть \(\frac{d}{2}\), где \(d\) - длина диагонали квадрата.
Плодставляя значение радиуса в формулу, получаем:
\[L = 2\pi \cdot \frac{d}{2} = \pi d.\]
Итак, значение длины дуги окружности равно \(\pi d\), где \(d\) - длина диагонали вписанного квадрата.