Яку довжину має найкоротша сторона прямокутника, якщо діагональ дорівнює 20 см і утворює кут 60 градусів з однією

Для решения данной задачи мы можем использовать теорему Пифагора, так как у нас есть диагональ и один из углов. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Давайте обозначим стороны прямоугольника как \(a\) и \(b\), где \(a\) - это ширина, а \(b\) - это длина. Также у нас есть следующая информация: диагональ равна 20 см и образует угол 60 градусов с одной из сторон (катетов).

Мы знаем, что диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, поэтому мы можем записать уравнение использования теоремы Пифагора:

\[
a^2 + b^2 = 20^2
\]

Также, мы знаем, что диагональ образует угол 60 градусов с одной из сторон (катетов). Определенная сторона, образующая этот угол, равна \(a\) (ширина). C помощью геометрических свойств, мы можем получить следующее уравнение:

\[
\sin(60^\circ) = \frac{a}{20}
\]

Теперь мы можем решить эти два уравнения относительно \(a\) и \(b\).

Распишем первое уравнение:

\[
a^2 + b^2 = 400
\]

Так как у нас уже есть выражение для \(a\) из второго уравнения, мы можем подставить его вместо \(a\) в первом уравнении:

\[
\left(\frac{20}{2}\right)^2 + b^2 = 400
\]

Сократив, получаем:

\[
100 + b^2 = 400
\]

Вычитая 100 из обеих частей, получим:

\[
b^2 = 300
\]

Теперь найдем значение \(b\), извлекая квадратный корень из обоих частей уравнения:

\[
b = \sqrt{300} \approx 17.32
\]

Таким образом, длина прямоугольника равна около 17.32 см.

Чтобы найти значение \(a\), мы можем использовать второе уравнение:

\[
\sin(60^\circ) = \frac{a}{20}
\]

Подставим известные значения:

\[
\sin(60^\circ) = \frac{a}{20}
\]

Синус 60 градусов равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \), поэтому:

\[
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{20}
\]

Умножим обе части уравнения на 20:

\[
\sqrt{3} = \frac{a}{10}
\]

Умножим обе части уравнения на 10:

\[
10\sqrt{3} = a
\]

Таким образом, ширина (или длина наименьшей стороны) прямоугольника равна \(10\sqrt{3}\).

Надеюсь, этот подробный и пошаговый ответ позволил вам понять, как найти длину наименьшей стороны прямоугольника в данной задаче. Если вы имеете какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать.