1) Найдите угол между боковыми ребрами правильной четырехугольной пирамиды, которая имеет высоту в два раза меньше

1) Чтобы найти угол между боковыми ребрами правильной четырехугольной пирамиды, нам необходимо знать отношение между высотой и боковым ребром. Из условия задачи мы знаем, что высота пирамиды в два раза меньше своего бокового ребра. Пусть высота пирамиды равна \(h\), а боковая сторона равна \(a\). Тогда мы можем записать следующее соотношение:

\[h = \frac{a}{2}\]

Для правильной четырехугольной пирамиды, все грани являются равносторонними треугольниками. Каждый из углов треугольника равен \(\frac{\pi}{3}\) радиан. Таким образом, угол между боковыми ребрами будет в два раза больше угла треугольника, то есть:

\[\theta = 2 \times \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}\]

Если мы хотим представить этот ответ в градусах, мы можем использовать следующее соотношение:

\[1 \text{ радиан} = \frac{180}{\pi} \text{ градусов}\]

Подставляя значения, мы получаем:

\[\frac{2\pi}{3} \times \frac{180}{\pi} = \frac{120}{\pi} \approx 38.2^{\circ}\]

Итак, угол между боковыми ребрами составляет примерно 38.2 градусов.

2) Чтобы найти площадь сечения, проведенного через диагональ основания параллельно боковому ребру пирамиды, нам необходимо знать высоту пирамиды и длины бокового ребра. Из условия задачи мы знаем, что высота пирамиды равна 9 дм, а боковые ребра равны друг другу.

Площадь сечения можно найти, умножив длину сечения на ширину сечения. Площадь сечения будет равна площади прямоугольника, так как сечение параллельно стороне прямоугольника. Длина сечения равна 6 дм (так как это длина прямоугольника), а ширина сечения будет равна длине бокового ребра.

Таким образом, ширина сечения равна длине бокового ребра, что равно \(a\). Площадь сечения будет равна:

\[S = \text{длина сечения} \times \text{ширина сечения} = 6 \, \text{дм} \times a\]

Мы можем найти значение длины бокового ребра \(a\) из высоты пирамиды. Из условия задачи, у нас есть равенство высоты пирамиды и бокового ребра:

\[h = a\]

Тогда мы можем записать:

\[S = 6 \, \text{дм} \times h\]

Подставляя значение высоты пирамиды \(h = 9 \, \text{дм}\), мы получаем:

\[S = 6 \, \text{дм} \times 9 \, \text{дм} = 54 \, \text{дм}^2\]

Итак, площадь сечения, проведенного через диагональ основания параллельно боковому ребру пирамиды, равна 54 дм².