1. Найдите третью сторону и два угла треугольника, если две стороны равны 13 см и 3 * √75, а угол противолежащий

Конечно, разберем каждую задачу пошагово:

1. Для начала воспользуемся законом косинусов, который гласит:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]
где \(c\) - третья сторона треугольника, \(a\) и \(b\) - известные стороны, \(C\) - угол противолежащий третьей стороне.
В данной задаче известны две стороны треугольника - 13 см и \(3 \times \sqrt{75}\), а также угол \(C\), равный 120 градусов.

Давайте найдем значение третьей стороны:
\[c^2 = (13\,см)^2 + (3 \times \sqrt{75})^2 - 2 \times 13\,см \times 3 \times \sqrt{75} \times \cos(120^\circ)\]

Вычислим это выражение:
\[c^2 = 169 \, см^2 + 675 \, см^2 - 78 \, см \times \sqrt{75} \, см\]

Далее, найдем косинус угла 120 градусов:
\[\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\]

Подставим это значение в наше уравнение:
\[c^2 = 844 \, см^2 - 78 \, см \times \sqrt{75} \, см\]

Теперь найдем значение третьей стороны, извлекая квадратный корень из полученного уравнения:
\[c = \sqrt{844 \, см^2 - 78 \, см \times \sqrt{75} \, см} \approx 16.35 \, см\]

Таким образом, третья сторона треугольника составляет примерно 16.35 см.

Теперь перейдем к нахождению углов треугольника. Используем закон синусов:
\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\]

У нас есть две стороны треугольника и противолежащий угол. Давайте найдем первый угол:
\[\frac{13 \, см}{\sin(A)} = \frac{16.35 \, см}{\sin(120^\circ)}\]

Выразим синус угла \(A\):
\[\sin(A) = \frac{13 \, см \times \sin(120^\circ)}{16.35 \, см}\]

Теперь найдем значение синуса угла \(A\):
\[\sin(A) \approx \frac{13 \, см \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{16.35 \, см} \approx 0.4164\]

Найдем сам угол \(A\):
\[A = \arcsin(0.4164)\]

Вычислим этот угол:
\[A \approx 25.81^\circ\]

Теперь найдем второй угол, используя уравнение синусов:
\[\frac{3 \times \sqrt{75} \, см}{\sin(B)} = \frac{16.35 \, см}{\sin(120^\circ)}\]

Выразим синус угла \(B\):
\[\sin(B) = \frac{3 \times \sqrt{75} \, см \times \sin(120^\circ)}{16.35 \, см}\]

Теперь найдем значение синуса угла \(B\):
\[\sin(B) \approx \frac{3 \times \sqrt{75} \, см \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{16.35 \, см} \approx 0.7083\]

Найдем сам угол \(B\):
\[B = \arcsin(0.7083)\]

Вычислим этот угол:
\[B \approx 45.00^\circ\]

Таким образом, третья сторона равна примерно 16.35 см, а углы треугольника равны примерно 25.81 градусов и 45.00 градусов.

2. В этой задаче у нас также две известные стороны треугольника - 20 см и 21 см, а угол между ними равен 120 градусов.

Сначала найдем третью сторону, используя закон косинусов:
\[c^2 = (20\,см)^2 + (21\,см)^2 - 2 \times 20\,см \times 21\,см \times \cos(120^\circ)\]

Решим это уравнение:
\[c^2 = 400\,см^2 + 441\,см^2 - 840\,см \times \cos(120^\circ)\]

Далее, найдем косинус угла 120 градусов:
\[\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\]

Подставляя это значение в уравнение, получим:
\[c^2 = 400\,см^2 + 441\,см^2 + 420\,см = 1261\,см^2\]

Используя квадратный корень, найдем значение третьей стороны:
\[c = \sqrt{1261\,см^2} \approx 35.49\,см\]

Таким образом, третья сторона треугольника составляет примерно 35.49 см.

3. В данной задаче у нас даны все три стороны треугольника - 14 см, 15 см и \(\sqrt{211}\,см\). Нам нужно найти угол, противолежащий средней стороне.

Сначала найдем эту сторону. У нас уже есть знание, что \(c = \sqrt{211}\,см\). Найдем первый угол, используя закон косинусов:
\[\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\]

Подставим известные значения:
\[\cos(A) = \frac{14^2 + (\sqrt{211})^2 - 15^2}{2 \times 15 \times \sqrt{211}}\]

Решим это выражение:
\[\cos(A) = \frac{196 + 211 - 225}{30 \times \sqrt{211}}\]

\[\cos(A) = \frac{182}{30 \times \sqrt{211}} = \frac{13}{\sqrt{211}}\]

Теперь найдем значение угла \(A\):
\[A = \arccos\left(\frac{13}{\sqrt{211}}\right)\]

Вычислив этот угол, получим:
\[A \approx 70.66^\circ\]

Таким образом, угол противолежащий средней стороне треугольника составляет примерно 70.66 градусов.