Какой вектор q будет получен при построении треугольника abc, где угол c равен 90°, длина отрезка ac равна 3, длина

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться методом векторов.

Пусть вектор a задает начальную точку треугольника, а вектор b задает конечную точку. Тогда вектором q будет вектор, направленный из начальной точки a в конечную точку c.

Найдем вектор a через формулу:

\[\vec{a} = \vec{c} + \frac{1}{k_{ca}} \cdot \vec{ac}\]

где \(\vec{c}\) - вектор, задающий конечную точку c, \(\vec{ac}\) - вектор, задающий отрезок ac, а \(k_{ca}\) - коэффициент пропорциональности для отрезка ac.

Подставим известные значения:

\[\vec{a} = \vec{c} + \frac{1}{\frac{1}{2}} \cdot \vec{ac}\]

Так как \(\vec{c} = \vec{0}\) (начало координат), получим:

\[\vec{a} = \frac{1}{\frac{1}{2}} \cdot \vec{ac}\]

Упростим выражение:

\[\vec{a} = 2 \cdot \vec{ac}\]

Теперь найдем вектор b через формулу:

\[\vec{b} = \vec{c} + \frac{1}{k_{cb}} \cdot \vec{bc}\]

где \(\vec{bc}\) - вектор, задающий отрезок bc, а \(k_{cb}\) - коэффициент пропорциональности для отрезка bc.

Подставим известные значения:

\[\vec{b} = \vec{c} + \frac{1}{2} \cdot \vec{bc}\]

Опять же, так как \(\vec{c} = \vec{0}\), получим:

\[\vec{b} = \frac{1}{2} \cdot \vec{bc}\]

Теперь найдем вектор q:

\[\vec{q} = \vec{c} - \frac{1}{k_{ab}} \cdot \vec{ab}\]

где \(\vec{ab}\) - вектор, задающий отрезок ab, а \(k_{ab}\) - коэффициент пропорциональности для отрезка ab.

Подставим известные значения:

\[\vec{q} = \vec{c} - (-0.2) \cdot \vec{ab}\]

Снова учитывая \(\vec{c} = \vec{0}\), получим:

\[\vec{q} = 0.2 \cdot \vec{ab}\]

Теперь вычислим значения векторов ac, bc и ab:

\[\vec{ac} = \vec{c} - \vec{a}\]
\[\vec{bc} = \vec{c} - \vec{b}\]
\[\vec{ab} = \vec{b} - \vec{a}\]

Заменим векторы в найденных выражениях:

\[\vec{ac} = \vec{0} - \vec{a}\]
\[\vec{bc} = \vec{0} - \vec{b}\]
\[\vec{ab} = \vec{b} - \vec{a}\]

Тогда:

\[\vec{ac} = -\vec{a}\]
\[\vec{bc} = -\vec{b}\]
\[\vec{ab} = \vec{b} - \vec{a}\]

Подставим значения в вектор q:

\[\vec{q} = 0.2 \cdot (\vec{b} - \vec{a})\]

Теперь заменим векторы ac, bc и ab:

\[\vec{q} = 0.2 \cdot (\vec{bc} - \vec{ac})\]

Подставим значения векторов ac и bc:

\[\vec{q} = 0.2 \cdot ((-\vec{a}) - (-\vec{b}))\]

Упростим выражение:

\[\vec{q} = 0.2 \cdot (-\vec{a} + \vec{b})\]

Подставим значения векторов a и b:

\[\vec{q} = 0.2 \cdot (-2 \cdot \vec{ac} + \frac{1}{2} \cdot \vec{bc})\]

Подставим значения векторов ac и bc:

\[\vec{q} = 0.2 \cdot (-2 \cdot (-\vec{a}) + \frac{1}{2} \cdot (-\vec{b}))\]

Упростим выражение:

\[\vec{q} = 0.2 \cdot (2 \cdot \vec{a} - \frac{1}{2} \cdot \vec{b})\]

Теперь рассчитаем значения векторов a и b:

\[\vec{a} = 2 \cdot \vec{ac} = 2 \cdot (-\vec{a}) = -2 \cdot \vec{a}\]
\[\vec{b} = \frac{1}{2} \cdot \vec{bc} = \frac{1}{2} \cdot (-\vec{b}) = -\frac{1}{2} \cdot \vec{b}\]

Теперь подставим значения векторов a и b в выражение для вектора q:

\[\vec{q} = 0.2 \cdot (2 \cdot (-2 \cdot \vec{a}) - \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2} \cdot \vec{b}))\]

Упростим выражение:

\[\vec{q} = 0.2 \cdot (-4 \cdot \vec{a} + \frac{1}{4} \cdot \vec{b})\]

Окончательный ответ:

Вектор q будет равен \(-0.8 \cdot \vec{a} + 0.05 \cdot \vec{b}\).