1) Найдите сумму и произведение корней уравнения x^2+8x-263=0. 2) Определите сумму и произведение корней уравнения

Хорошо, давайте решим каждую задачу последовательно:

1) Уравнение x^2+8x-263=0 является квадратным уравнением. Для нахождения корней воспользуемся формулой дискриминанта.

Дискриминант D квадратного уравнения ax^2+bx+c=0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

В нашем случае, a = 1, b = 8 и c = -263.
Подставим эти значения в формулу дискриминанта: D = 8^2 - 4 * 1 * (-263).

Рассчитаем дискриминант: D = 64 + 1052 = 1116.

Дискриминант равен 1116. Теперь воспользуемся формулами для нахождения корней.

Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня.
Корни x_1 и x_2 задаются формулами:
x_1 = (-b + sqrt(D)) / (2a),
x_2 = (-b - sqrt(D)) / (2a),

где sqrt(D) обозначает квадратный корень из D.

Подставим значения a, b, c и D в эти формулы для нахождения корней:

x_1 = (-8 + sqrt(1116)) / (2 * 1),
x_2 = (-8 - sqrt(1116)) / (2 * 1).

Теперь рассчитаем каждый корень:

x_1 = (-8 + sqrt(1116)) / 2,
x_2 = (-8 - sqrt(1116)) / 2.

Значение sqrt(1116) ≈ 33.42.

Теперь найдём сумму корней:
Сумма корней равна x_1 + x_2:
Сумма корней = (-8 + 33.42) / 2 + (-8 - 33.42) / 2
Сумма корней = 25.42 / 2 - 41.42 / 2
Сумма корней = -16 / 2 = -8.

Найдём произведение корней:
Произведение корней равно x_1 * x_2:
Произведение корней = ((-8 + 33.42) / 2) * ((-8 - 33.42) / 2)
Произведение корней = (25.42 / 2) * (-41.42 / 2)
Произведение корней = -522.91.

Таким образом, сумма корней уравнения x^2+8x-263=0 равна -8, а произведение корней равно -522.91.

2) Решим уравнение x^2-14x+5=0, используя ту же процедуру, что и в предыдущей задаче.

В данном случае, a = 1, b = -14 и c = 5.
Вычислим дискриминант: D = (-14)^2 - 4 * 1 * 5 = 196 - 20 = 176.

D = 176. Так как D > 0, уравнение имеет два различных действительных корня.

Подставим значения a, b, c и D в формулы для нахождения корней:

x_1 = (14 + sqrt(176)) / 2,
x_2 = (14 - sqrt(176)) / 2.

Значение sqrt(176) ≈ 13.26.

Теперь найдём сумму корней:
Сумма корней равна x_1 + x_2:
Сумма корней = (14 + 13.26) / 2 + (14 - 13.26) / 2
Сумма корней = 27.26 / 2 + 0.74 / 2
Сумма корней = 14.

Найдём произведение корней:
Произведение корней равно x_1 * x_2:
Произведение корней = ((14 + 13.26) / 2) * ((14 - 13.26) / 2)
Произведение корней = (27.26 / 2) * (0.74 / 2)
Произведение корней = 10.09.

Таким образом, сумма корней уравнения x^2-14x+5=0 равна 14, а произведение корней равно 10.09.

3) Перейдём к уравнению 5x^2-12x-7=0.

В данном случае, a = 5, b = -12 и c = -7.
Вычислим дискриминант: D = (-12)^2 - 4 * 5 * (-7) = 144 + 140 = 284.

D = 284. Так как D > 0, уравнение имеет два различных действительных корня.

Подставим значения a, b, c и D в формулы для нахождения корней:

x_1 = (12 + sqrt(284)) / (2 * 5),
x_2 = (12 - sqrt(284)) / (2 * 5).

Значение sqrt(284) ≈ 16.85.

Теперь найдём сумму корней:
Сумма корней равна x_1 + x_2:
Сумма корней = (12 + 16.85) / 10 + (12 - 16.85) / 10
Сумма корней = 28.85 / 10 - 4.85 / 10
Сумма корней = 24 / 10 = 2.4.

Найдём произведение корней:
Произведение корней равно x_1 * x_2:
Произведение корней = ((12 + 16.85) / 10) * ((12 - 16.85) / 10)
Произведение корней = (28.85 / 10) * (-4.85 / 10)
Произведение корней = -7 / 10 = -0.7.

Таким образом, сумма корней уравнения 5x^2-12x-7=0 равна 2.4, а произведение корней равно -0.7.

4) Перейдём к уравнению 11x^2+29x+3=0.

В данном случае, a = 11, b = 29 и c = 3.
Вычислим дискриминант: D = (29)^2 - 4 * 11 * 3 = 841 - 132 = 709.

D = 709. Так как D > 0, уравнение имеет два различных действительных корня.

Подставим значения a, b, c и D в формулы для нахождения корней:

x_1 = (-29 + sqrt(709)) / (2 * 11),
x_2 = (-29 - sqrt(709)) / (2 * 11).

Значение sqrt(709) ≈ 26.63.

Теперь найдём сумму корней:
Сумма корней равна x_1 + x_2:
Сумма корней = (-29 + 26.63) / 22 + (-29 - 26.63) / 22
Сумма корней = -2.37 / 22 - 55.63 / 22
Сумма корней = -58 / 22 ≈ -2.64.

Найдём произведение корней:
Произведение корней равно x_1 * x_2:
Произведение корней = ((-29 + 26.63) / 22) * ((-29 - 26.63) / 22)
Произведение корней = (-2.37 / 22) * (-55.63 / 22)
Произведение корней = 2.57.

Таким образом, сумма корней уравнения 11x^2+29x+3=0 равна примерно -2.64, а произведение корней равно 2.57.