1. Найдите решение уравнения и, если оно имеет несколько корней, запишите их разность. Логарифм по основанию 4 от

1. Чтобы найти решение уравнения \(\log_4{x^2} = 3\), сначала приведем его к эквивалентному виду без логарифма. Это можно сделать, возведя основание логарифма в степень, равную обоим сторонам уравнения. Тогда получим \(4^3 = x^2\). Вычислив степень, получаем \(64 = x^2\). Чтобы найти значения \(x\), возведем обе стороны в квадратный корень: \(\sqrt{64} = \sqrt{x^2}\). Это дает нам два корня: \(x_1 = 8\) и \(x_2 = -8\). Запишем их разность: \(x_1 - x_2 = 8 - (-8) = 16\).

2. Значение \(arcsin(-1/2)\) можно найти с помощью обратной функции синуса, которая возвращает угол, соответствующий заданному значению. В данном случае, \(arcsin(-1/2)\) будет углом, для которого синус равен \(-1/2\). Такой угол равен \(-\pi/6\) или \(-30\) градусов.

3. Для решения уравнения \(\log_{10}(3x-1) - \log_{10}(x+5) = \log_{10}(5)\) применим свойства логарифмов. По свойству вычитания логарифмов, можно записать \(\log_{10}\left(\frac{3x-1}{x+5}\right) = \log_{10}(5)\). Для обоих выражений основание логарифма одинаковое, поэтому аргументы должны быть равны. Таким образом, \(\frac{3x-1}{x+5} = 5\). Решим полученное уравнение для \(x\): \(3x-1 = 5x+25\). Перенесем переменные и числа на разные стороны уравнения: \(5x - 3x = 25 + 1\). Решив это уравнение, получим \(2x = 26\), значит \(x = 13\).

4. Для решения уравнения \(\log_3{x} - 3\log_x{3} = 1\) применим свойства логарифмов. По свойствам логарифма, можно записать \(\log_3{x} - \log_x{3^3} = 1\). Так как \(3^3 = 27\), перепишем уравнение в виде \(\log_3{x} - \log_x{27} = 1\). Теперь можем использовать свойство деления логарифмов \(\log_b{a} - \log_b{c} = \log_b{\frac{a}{c}}\), чтобы получить \(\log_3{\frac{x}{27}} = 1\). Значение логарифма равно 1, когда его аргумент равен основанию. Таким образом, \(\frac{x}{27} = 3^1\), то есть \(\frac{x}{27} = 3\). Умножив обе стороны на 27, получим \(x = 81\). Результирующий корень равен \(81\).

5. В V веке до нашей эры, школой, которая занималась изучением правильных многоугольников, была школа Пифагора. Пифагорейская школа, созданная Пифагором, занималась не только изучением предметов, но также внесла значительный вклад в развитие математики и философии. Именно этой школе Пифагорой была приписана открытие много интересных математических закономерностей, включая теорему Пифагора, которую назвали в его честь. Эта школа считалась одной из крупнейших школ античности, которая существовала в городе Кротон в южной Италии.