1. Найдите производную функции f(x) и определите её значение при x=1 и x=0. a) Найдите производную функции

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

a) Для нахождения производной функции \(f(x) = (3x-2)^7\) воспользуемся цепным правилом и степенным правилом производной. По цепному правилу производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции.

Для начала, возьмем производную внутренней функции \((3x-2)\), применив степенное правило производной:
\[
f"(x) = 7(3x-2)^{7-1} \cdot (3)
\]

Упрощая это выражение, получим:
\[
f"(x) = 21(3x-2)^6
\]

Теперь мы можем вычислить значение производной при \(x=1\) и \(x=0\):
\[
f"(1) = 21(3\cdot1-2)^6 = 21(1)^6 = 21
\]
\[
f"(0) = 21(3\cdot0-2)^6 = 21(-2)^6 = 21\cdot64 = 1344
\]

Таким образом, производная функции \(f(x) = (3x-2)^7\) равна \(21\), когда \(x=1\), и равна \(1344\), когда \(x=0\).

b) Теперь рассмотрим функцию \(f(x) = (6-4x)^{11}\). Воспользуемся аналогичным процессом для нахождения производной:

Производная внутренней функции \((6-4x)\) равна:
\[
f"(x) = 11(6-4x)^{11-1} \cdot (-4)
\]

Упрощая это выражение, получим:
\[
f"(x) = -44(6-4x)^{10}
\]

Вычислим значение производной при \(x=1\) и \(x=0\):
\[
f"(1) = -44(6-4\cdot1)^{10} = -44(2)^{10} = -44\cdot1024 = -45056
\]
\[
f"(0) = -44(6-4\cdot0)^{10} = -44(6)^{10} = -44\cdot60466176 = -2662766336
\]

Следовательно, производная функции \(f(x) = (6-4x)^{11}\) равна \(-45056\), когда \(x=1\), и равна \(-2662766336\), когда \(x=0\).

c) Теперь перейдем к функции \(f(x) = \frac{{3x-2}}{{4x+3}}\). Для нахождения производной используем правила дифференцирования дробной функции.

Применяя правило квотиента производной, получим:
\[
f"(x) = \frac{{(3 \cdot (4x+3) - (3x-2) \cdot 4)}}{{(4x+3)^2}}
\]

Упрощая это выражение, получим:
\[
f"(x) = \frac{{6}}{{(4x+3)^2}}
\]

Теперь найдем значение производной при \(x=1\):
\[
f"(1) = \frac{{6}}{{(4\cdot1+3)^2}} = \frac{{6}}{{(7)^2}} = \frac{{6}}{{49}}
\]

Таким образом, производная функции \(f(x) = \frac{{3x-2}}{{4x+3}}\) равна \(\frac{{6}}{{49}}\) при \(x=1\).