1) Найдите все комбинации чисел (х; у), которые удовлетворяют уравнению: а) 4х^2 - 81y^2 = 0; 2) Рассмотрим все пары

1) Данное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно двух переменных, \(x\) и \(y\). Для решения этого уравнения, мы должны найти все значения \(x\) и \(y\), удовлетворяющие уравнению \(4x^2 - 81y^2 = 0\).

Решение:
Данное уравнение можно переписать в виде:
\[4x^2 = 81y^2\]

Затем, мы можем применить корень к обеим сторонам уравнения:
\[2x = 9y\]

Из этого уравнения можно выразить \(x\) через \(y\) или \(y\) через \(x\):
\[x = \frac{9y}{2}\]
\[y = \frac{2x}{9}\]

Таким образом, все комбинации чисел \((x, y)\), удовлетворяющие уравнению \(4x^2 - 81y^2 = 0\), могут быть представлены как \((x, \frac{2x}{9})\) или \((\frac{9y}{2}, y)\), где \(x\) и \(y\) могут быть любыми числами.

2) Второе уравнение имеет вид \(x^2 + 2xy + y^2 = 0\), также является квадратным уравнением двух переменных \(x\) и \(y\). Чтобы найти все пары чисел \((x, y)\), удовлетворяющих этому условию, выполним следующие шаги.

Решение:
Данное уравнение можно факторизовать следующим образом:
\[(x + y)^2 = 0\]

Это значит, что сумма \(x + y\) должна быть равна 0. Таким образом, нам нужно найти все пары чисел, для которых \(x + y = 0\).

Это может быть выражено следующим образом:
\[y = -x\]

Таким образом, все пары чисел \((x, y)\), удовлетворяющие условию \(x^2 + 2xy + y^2 = 0\), могут быть представлены как \((x, -x)\), где \(x\) может быть любым числом.

3) Уравнение \(xy + 20 = 5x + 4y\) также является уравнением двух переменных \(x\) и \(y\). Чтобы найти значения чисел \((x, y)\), удовлетворяющих этому равенству, выполним следующие шаги.

Решение:
Перепишем уравнение в виде:
\[xy - 5x - 4y + 20 = 0\]

Мы можем применить метод факторизации к этому уравнению:
\[(x - 4)(y - 5) = 0\]

Из этого выражения можно вывести два случая:
1. \(x - 4 = 0\) и \(y - 5 = 0\), что приводит к \(x = 4\) и \(y = 5\).
2. \(x - 4\) и \(y - 5\) должны оба быть равными нулю, но это невозможно.

Таким образом, единственной парой чисел \((x, y)\), удовлетворяющих условию \(xy + 20 = 5x + 4y\) является \((4, 5)\).

4) Последнее уравнение \(x\sqrt{y} - 3 = x - 3\sqrt{y}\) также является квадратным уравнением двух переменных \(x\) и \(y\). Давайте решим его.

Решение:
Перенесем все члены с корнями на одну сторону уравнения:
\[x\sqrt{y} - x = 3\sqrt{y} - 3\]

Теперь можно применить корень к обеим сторонам уравнения:
\[\sqrt{y}(x - 1) = 3(\sqrt{y} - 1)\]

Далее, можно разделить обе стороны уравнения на \(\sqrt{y} - 1\) для упрощения:
\[x - 1 = 3\]

Таким образом, \(x = 4\).

Подставляем значение \(x\) в исходное уравнение:
\(4\sqrt{y} - 3 = 4 - 3\sqrt{y}\)

Переносим все члены с корнями на одну сторону:
\(4\sqrt{y} + 3\sqrt{y} = 4 + 3\)

Складываем коэффициенты и корни на обеих сторонах:
\(7\sqrt{y} = 7\)

Делим обе стороны на 7:
\(\sqrt{y} = 1\)

Возводим обе стороны в квадрат:
\(y = 1\)

Таким образом, единственной парой чисел \((x, y)\), удовлетворяющих условию \(x\sqrt{y} - 3 = x - 3\sqrt{y}\) является \((4, 1)\).