1. Найдите первые три члена в разложении в степенной ряд по возрастанию степени х и запишите коэффициент при х

Хорошо, поехали! Давайте начнем с первой задачи. У нас есть выражение \((3x + 1)^5\), и нам нужно найти первые три члена в его разложении в степенной ряд.

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать Биномиальную теорему. Она гласит, что разложение любого бинома \((a + b)^n\) можно представить в виде суммы \(C(n, k) \cdot a^{n-k} \cdot b^k\), где \(C(n, k)\) - биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).

Итак, применим Биномиальную теорему к нашему выражению \((3x + 1)^5\). Подставим значения \(a = 3x\), \(b = 1\), и \(n = 5\). Найдем первые три члена в разложении:

1. Член с \(x^5\):
\[C(5, 5) \cdot (3x)^{5-5} \cdot 1^5 = C(5, 5) \cdot (3x)^0 \cdot 1 = C(5, 5) \cdot 1 \cdot 1 = 1\]

2. Член с \(x^4\):
\[C(5, 4) \cdot (3x)^{5-4} \cdot 1^4 = C(5, 4) \cdot (3x)^1 \cdot 1^4 = C(5, 4) \cdot 3x \cdot 1 = 15 \cdot 3x = 45x\]

3. Член с \(x^3\):
\[C(5, 3) \cdot (3x)^{5-3} \cdot 1^3 = C(5, 3) \cdot (3x)^2 \cdot 1^3 = C(5, 3) \cdot 9x^2 \cdot 1 = 10 \cdot 9x^2 = 90x^2\]

Таким образом, первые три члена в разложении выражения \((3x + 1)^5\) по возрастанию степени \(x\) равны:

1) 1
2) 45x
3) 90x^2

При этом коэффициент при \(x\) в первом члене равен 0, втором - 45, а в третьем - 90.

Теперь перейдем ко второй задаче. У нас есть выражение \((1 - x)^5\), и нам нужно найти первые три члена в его разложении в степенной ряд.

Применяя Биномиальную теорему снова, подставим значения \(a = 1\), \(b = -x\), и \(n = 5\). Найдем первые три члена в разложении:

1. Член с \(x^5\):
\[C(5, 5) \cdot 1^{5-5} \cdot (-x)^5 = C(5, 5) \cdot 1^0 \cdot (-x)^5 = C(5, 5) \cdot 1 \cdot (-x)^5 = -x^5\]

2. Член с \(x^4\):
\[C(5, 4) \cdot 1^{5-4} \cdot (-x)^4 = C(5, 4) \cdot 1^1 \cdot (-x)^4 = C(5, 4) \cdot (-x)^4 = 5 \cdot (-x)^4 = 5x^4\]

3. Член с \(x^3\):
\[C(5, 3) \cdot 1^{5-3} \cdot (-x)^3 = C(5, 3) \cdot 1^2 \cdot (-x)^3 = C(5, 3) \cdot (-x)^3 = 10 \cdot (-x)^3 = -10x^3\]

Итак, первые три члена в разложении выражения \((1 - x)^5\) по возрастанию степени \(x\) равны:

1) \(-x^5\)
2) \(5x^4\)
3) \(-10x^3\)

Коэффициенты при \(x\) в этих членах равны -5, 5 и -10 соответственно.

Надеюсь, что объяснение было понятным и помогло вам разобраться в этой теме.