1) Найдите первообразную для функции f(x) = 4x^3 - 10x - 9, проходящую через точку m(3; 15). 2) Найдите первообразную

Конечно! Давайте начнем с первой задачи.

1) Чтобы найти первообразную функции $f(x)=4x^3-10x-9$, нам нужно интегрировать каждый член этой функции. Найдем интеграл для каждого члена по отдельности:

Интеграл от $4x^3$ будет равен $\frac{4x^4}{4}=x^4$.

Интеграл от $-10x$ будет равен $-5x^2$.

И интеграл от константы -9 равен -9x.

Теперь, чтобы найти первообразную функции $f(x)=4x^3-10x-9$, мы просто складываем эти интегралы:

$F(x)=x^4-5x^2-9x+C$,

где $C$ - произвольная постоянная.

Чтобы найти значение постоянной $C$, через которое проходит точка $m(3,15)$, подставим $x=3$ и $F(x)=15$ в уравнение:

$15=3^4-5\cdot 3^2-9\cdot 3+C$.

Вычислим это выражение:

$15=81-45-27+C$.

$15=9+C$.

Теперь вычтем 9 из обеих сторон:

$C=6$.

Таким образом, первообразная функции $f(x)=4x^3-10x-9$, проходящая через точку $m(3,15)$, будет иметь вид:

$F(x)=x^4-5x^2-9x+6$.

2) Для функции $f(x)=\frac{6}{{\cos }^{2}x}$, чтобы найти ее первообразную, мы будем использовать подходящую подстановку.

Замена $u=\sin x$ поможет нам решить эту задачу. Первообразная функции будет иметь следующий вид:

$$F(x)=\int \frac{6}{{\cos }^{2}x}dx=\int \frac{6}{1-{\sin }^{2}x}dx$$

Используя тригонометрическое тождество $1-{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x$, мы можем переписать интеграл следующим образом:

$$F(x)=\int \frac{6}{{\cos }^{2}x}dx=\int \frac{6}{1-{\sin }^{2}x}dx=\int \frac{6}{{\cos }^{2}x}dx=\int \frac{6}{{\cos }^{2}x}d(\sin x)$$

Теперь мы можем произвести замену переменных $u=\sin x$:

$$F(x)=\int \frac{6}{{\cos }^{2}x}d(\sin x)=\int \frac{6}{1-u^2}du$$

Теперь мы можем интегрировать это выражение как простое рациональное выражение. Разложим его на простые дроби методом неопределенных коэффициентов:

$$\frac{6}{1-u^2}=\frac{A}{1-u}+\frac{B}{1+u}$$

Умножим обе части на $1-u^2$:

$$6=A(1+u)+B(1-u)$$

Раскроем скобки и соберем слагаемые справа:

$$6=(A+B)+(A-B)u$$

Таким образом, у нас есть система уравнений:

$$A+B=6$$
$$A-B=0$$

Решая эту систему, мы получаем, что $A=3$ и $B=3$.

Теперь возвращаемся к исходному выражению:

$$F(x)=\int \frac{6}{1-u^2}du=\int (\frac{3}{1-u}+\frac{3}{1+u})du$$

Мы получили интегралы простых функций:

$$F(x)=3\ln |1-u|+3\ln |1+u|+C$$

Возвращаясь к исходной переменной $x$ и используя замену $u=\sin x$, получаем:

$$F(x)=3\ln |1-\sin x|+3\ln |1+\sin x|+C$$

Нам также дано, что функция $F(x)$ проходит через точку $m(\frac{\pi }{4},y)$, поэтому мы можем использовать это значение, чтобы найти постоянную $C$.

Подставим $x=\frac{\pi }{4}$ в выражение для $F(x)$ и приравняем его к $y$:

$$y=3\ln |1-\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)|+3\ln |1+\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)|+C$$

Вычислим значения синусов:

$$y=3\ln |1-\frac{\sqrt{2}}{2}|+3\ln |1+\frac{\sqrt{2}}{2}|+C$$

Теперь продолжим упрощение:

$$y=3\ln \left|\frac{2-\sqrt{2}}{2}\right|+3\ln \left|\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right|+C$$

Таким образом, первообразная функции $f(x)=\frac{6}{{\cos }^{2}x}$, проходящая через точку $m(\frac{\pi }{4},y)$, будет иметь вид:

$$F(x)=3\ln \left|\frac{2-\sqrt{2}}{2}\right|+3\ln \left|\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right|+C$$