1) Найдите первообразную для функции f(x) = 4x^3 - 10x - 9, проходящую через точку m(3; 15). 2) Найдите первообразную

Конечно! Давайте начнем с первой задачи.

1) Чтобы найти первообразную функции \( f(x) = 4x^3 - 10x - 9 \), нам нужно интегрировать каждый член этой функции. Найдем интеграл для каждого члена по отдельности:

Интеграл от \( 4x^3 \) будет равен \( \frac{{4x^4}}{4} = x^4 \).

Интеграл от \( -10x \) будет равен \( -5x^2 \).

И интеграл от константы -9 равен -9x.

Теперь, чтобы найти первообразную функции \( f(x) = 4x^3 - 10x - 9 \), мы просто складываем эти интегралы:

\( F(x) = x^4 - 5x^2 - 9x + C \),

где \( C \) - произвольная постоянная.

Чтобы найти значение постоянной \( C \), через которое проходит точка \( m(3,15) \), подставим \( x = 3 \) и \( F(x) = 15 \) в уравнение:

\( 15 = 3^4 - 5 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3 + C \).

Вычислим это выражение:

\( 15 = 81 - 45 - 27 + C \).

\( 15 = 9 + C \).

Теперь вычтем 9 из обеих сторон:

\( C = 6 \).

Таким образом, первообразная функции \( f(x) = 4x^3 - 10x - 9 \), проходящая через точку \( m(3,15) \), будет иметь вид:

\( F(x) = x^4 - 5x^2 - 9x + 6 \).

2) Для функции \( f(x) = \frac{6}{{\cos^2x}} \), чтобы найти ее первообразную, мы будем использовать подходящую подстановку.

Замена \( u = \sin x \) поможет нам решить эту задачу. Первообразная функции будет иметь следующий вид:

\[ F(x) = \int \frac{6}{{\cos^2x}}dx = \int \frac{6}{{1 - \sin^2x}}dx \]

Используя тригонометрическое тождество \( 1 - \sin^2x = \cos^2x \), мы можем переписать интеграл следующим образом:

\[ F(x) = \int \frac{6}{{\cos^2x}}dx = \int \frac{6}{{1 - \sin^2x}}dx = \int \frac{6}{{\cos^2x}}dx = \int \frac{6}{{\cos^2x}}d(\sin x) \]

Теперь мы можем произвести замену переменных \( u = \sin x \):

\[ F(x) = \int \frac{6}{{\cos^2x}}d(\sin x) = \int \frac{6}{1 - u^2} du \]

Теперь мы можем интегрировать это выражение как простое рациональное выражение. Разложим его на простые дроби методом неопределенных коэффициентов:

\[ \frac{6}{1 - u^2} = \frac{A}{1 - u} + \frac{B}{1 + u} \]

Умножим обе части на \( 1 - u^2 \):

\[ 6 = A(1 + u) + B(1 - u) \]

Раскроем скобки и соберем слагаемые справа:

\[ 6 = (A + B) + (A - B)u \]

Таким образом, у нас есть система уравнений:

\[ A + B = 6 \]
\[ A - B = 0 \]

Решая эту систему, мы получаем, что \( A = 3 \) и \( B = 3 \).

Теперь возвращаемся к исходному выражению:

\[ F(x) = \int \frac{6}{1 - u^2} du = \int \left(\frac{3}{1 - u} + \frac{3}{1 + u}\right) du \]

Мы получили интегралы простых функций:

\[ F(x) = 3 \ln|1 - u| + 3 \ln|1 + u| + C \]

Возвращаясь к исходной переменной \( x \) и используя замену \( u = \sin x \), получаем:

\[ F(x) = 3 \ln|1 - \sin x| + 3 \ln|1 + \sin x| + C \]

Нам также дано, что функция \( F(x) \) проходит через точку \( m\left(\frac{\pi}{4}, y\right) \), поэтому мы можем использовать это значение, чтобы найти постоянную \( C \).

Подставим \( x = \frac{\pi}{4} \) в выражение для \( F(x) \) и приравняем его к \( y \):

\[ y = 3 \ln|1 - \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)| + 3 \ln|1 + \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)| + C \]

Вычислим значения синусов:

\[ y = 3 \ln|1 - \frac{\sqrt{2}}{2}| + 3 \ln|1 + \frac{\sqrt{2}}{2}| + C \]

Теперь продолжим упрощение:

\[ y = 3 \ln\left|\frac{2 - \sqrt{2}}{2}\right| + 3 \ln\left|\frac{2 + \sqrt{2}}{2}\right| + C \]

Таким образом, первообразная функции \( f(x) = \frac{6}{{\cos^2x}} \), проходящая через точку \( m\left(\frac{\pi}{4}, y\right) \), будет иметь вид:

\[ F(x) = 3 \ln\left|\frac{2 - \sqrt{2}}{2}\right| + 3 \ln\left|\frac{2 + \sqrt{2}}{2}\right| + C \]