1) Необходимо найти примитивную функцию для выражения y = x² - -2sin(2x) + x-¹. 2) Требуется рассчитать площадь

Конечно, я с удовольствием помогу вам с этими задачами. Начнем с первой задачи.

1) Для нахождения примитивной (или иногда называемой "неопределенным интегралом") функции для выражения \(y = x^2 - 2\sin(2x) + x^{-1}\), нам понадобится использовать метод интегрирования по частям и замены переменных. Давайте проделаем каждый из этих шагов по очереди.

Шаг 1: Интегрирование \(x^2\)
Для интегрирования многочлена \(x^2\), мы используем стандартную формулу для степенных функций: \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), где \(C\) - произвольная постоянная.

Интегрируя \(x^2\), получаем:
\[\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C_1,\]
где \(C_1\) - новая постоянная.

Шаг 2: Интегрирование \(-2\sin(2x)\)
Для интегрирования тригонометрической функции \(\sin(2x)\), мы воспользуемся формулой для интегрирования синуса: \(\int \sin(ax) dx = -\frac{1}{a}\cos(ax) + C\), где \(C\) - постоянная.

Интегрируя \(-2\sin(2x)\), получаем:
\[\int -2\sin(2x) dx = -\frac{2}{2}\cos(2x) + C_2 = -\cos(2x) + C_2,\]
где \(C_2\) - новая постоянная.

Шаг 3: Интегрирование \(x^{-1}\)
Для интегрирования функции \(x^{-1}\), мы будем использовать замену переменных. Полагаем \(u = x^{-1}\), тогда \(du = -x^{-2}dx\).

Выражаем \(dx\) через \(du\) и подставляем в нашу исходную функцию:
\[\int x^{-1} dx = \int \frac{1}{u} (-du) = -\ln|u| + C_3,\]
где \(C_3\) - новая постоянная.

Шаг 4: Сборка всех полученных результатов
Итак, соберем все полученные интегралы вместе:
\[\int (x^2 - 2\sin(2x) + x^{-1}) dx = \frac{x^3}{3} - \cos(2x) - \ln|x| + C,\]
где \(C\) - итоговая постоянная.

Таким образом, примитивная функция для выражения \(y = x^2 - 2\sin(2x) + x^{-1}\) равна \(\frac{x^3}{3} - \cos(2x) - \ln|x| + C\).

Перейдем к следующей задаче.

2) Для рассчета площади области, ограниченной графиками \(y = -x^2 + 1\) и \(y = 0\), нам нужно найти точки пересечения этих двух функций и вычислить интеграл площади между ними.

Шаг 1: Находим точки пересечения
Для этого приравниваем \(y\) в обоих уравнениях:
\(-x^2 + 1 = 0\).

Решим это уравнение:
\[x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1.\]

Таким образом, точки пересечения будут \(x = -1\) и \(x = 1\).

Шаг 2: Вычисляем интеграл площади
Интеграл площади области между графиками можно записать в виде:
\[S = \int_{-1}^{1} (-x^2 + 1) dx.\]

Интегрируя, получим:
\[S = \left[-\frac{x^3}{3} + x\right]_{-1}^{1} = \left(-\frac{1^3}{3} + 1\right) - \left(-\frac{(-1)^3}{3} + (-1)\right) = \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0.\]

Таким образом, площадь области, ограниченной графиками \(y = -x^2 + 1\) и \(y = 0\), равна нулю.

Я надеюсь, что эти подробные объяснения помогли вам понять решение задач.