1. Найдите периметр треугольника ABC, если BE = 10 см, BF = 16 см, EF = 14 см, и точки F и E являются серединами сторон

1. Для решения данной задачи мы можем воспользоваться свойствами серединных перпендикуляров треугольника. Для начала, заметим, что EF - это половина основания BC, и EB - это ещё одна половина основания BC. Поэтому можно сказать, что EF = EB. Аналогично, FB - это половина основания BA, и FA - это ещё одна половина основания BA. Значит, FB = FA.

Таким образом, получаем, что BE = 10 см, FB = 16 см и EF = 14 см. Зная, что EF = EB и FB = FA, мы можем выразить EB и FA через известные значения EF и FB.

EF + FA + AE = AB, где AB - это сторона треугольника ABC.
14 + FA + AE = AB.

Аналогично, EB + FB + AE = AB.
EB + 16 + 10 = AB.

После объединения полученных равенств и упрощения уравнения, мы получаем:
EB + FA + AE + FB + AE = AB + AB.
40 + 2AE = 2AB.

Так как AE - это половина стороны AB, мы можем записать AE = AB/2 и упростить уравнение:
40 + 2(AE) = 2(2AE).
40 + 2AB/2 = 4AE.
40 + AB = 4AE.
AB = 4AE - 40.

Также, если точка E - это середина стороны AB, то можно сказать, что AE = EB = AB/2.

Теперь мы можем записать AB = 4AB/2 - 40 и решить получившееся уравнение:
AB/2 = 40,
AB = 80.

Итак, мы нашли сторону AB треугольника ABC, которая равна 80 см. Теперь можем найти периметр треугольника ABC, который состоит из суммы длин всех его сторон:
AB + BC + AC = 80 + 2(10) + 2(16) = 80 + 20 + 32 = 132.

Ответ: Периметр треугольника ABC равен 132 см.

2. Пусть основание трапеции будет равно x см, а другое основание будет равно 2x см. Заметим, что средняя линия трапеции равна полусумме длин оснований. Поэтому мы можем записать уравнение:
(2x + x)/2 = 6,
3x/2 = 6,
3x = 12,
x = 4.

Таким образом, меньшее основание трапеции равно 4 см, а большее основание равно 2*4 = 8 см.

Ответ: Длины оснований трапеции равны 4 см и 8 см.

3. Чтобы найти периметр четырёхугольника, в который можно вписать окружность, нам необходимо знать его стороны. По условию задачи, две противолежащие стороны четырёхугольника равны 10 см и 14 см.

Вписанная окружность в четырёхугольник касается всех его сторон. Если окружность касается стороны длиной a, то радиус окружности равен \(r = \frac{a}{2}\).

В нашем случае окружность касается всех сторон четырёхугольника. Это означает, что радиус окружности равен половине суммы длин двух противолежащих сторон.

Таким образом, радиус окружности равен \(r = \frac{10+14}{2} = \frac{24}{2} = 12\).

Периметр четырёхугольника равен сумме длин всех его сторон.

\(P = 10 + 14 + 10 + 14 = 48\).

Ответ: Периметр четырёхугольника равен 48 см.

4. Для решения этой задачи нам потребуется использовать свойство равнобедренной трапеции, согласно которому углы, образованные диагоналями и основаниями трапеции, равны.

Пусть AC - это основание равнобедренной трапеции, длиной 4 см. Пусть BD - это другое основание трапеции, а AD и BC - это боковые стороны равнобедренной трапеции.

Так как диагональ делит тупой угол, мы можем заметить, что угол BDA тоже тупой.

Пусть AD = x см. Тогда, согласно теореме Пифагора, мы можем выразить BC через x:
BC^2 = AB^2 - AC^2,
BC^2 = (AD + BD)^2 - AC^2,
BC^2 = (x + 5)^2 - 4^2,
BC^2 = x^2 + 10x + 25 - 16,
BC^2 = x^2 + 10x + 9.

Так как у нас равнобедренная трапеция, AC = BD, и мы также можем записать:
BD^2 = BC^2 + 4^2,
BD^2 = x^2 + 10x + 9 + 16,
BD^2 = x^2 + 10x + 25.

Теперь мы можем сравнить BC^2 и BD^2:
x^2 + 10x + 9 = x^2 + 10x + 25,
9 = 25.

Очевидно, что это не может быть правдой.

Таким образом, мы пришли к выводу, что данная трапеция не имеет таких размеров и диагонали, которые удовлетворяют условию задачи.

Ответ: Не существует такой равнобедренной трапеции, в которой диагональ делит тупой угол и меньшее основание длиной 4 см, боковая сторона длиной 5 см.