1) Найдите периметр осевого сечения тела, получаемого вращением прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 и катетом

Давайте начнем с первой задачи. Мы должны найти периметр осевого сечения тела, получаемого вращением прямоугольного треугольника вокруг меньшего катета.

Для начала давайте определим, что такое осевое сечение. Осевое сечение - это сечение, которое проходит вдоль оси вращения. В нашем случае, осевое сечение будет окружностью.

Прежде чем мы начнем, определим основные формулы, которые нам понадобятся:
- Длина окружности: \(C = 2\pi r\), где \(C\) - длина окружности, \(\pi\) - математическая константа пи (примерно 3,14), \(r\) - радиус окружности.

В данной задаче, треугольник с гипотенузой 10 и катетом 6 вращается вокруг меньшего катета. Меньший катет будет основанием окружности осевого сечения.

Для того чтобы найти радиус окружности, нам нужно знать длину меньшего катета. По определению прямоугольного треугольника, меньший катет равен половине гипотенузы. Значит, меньший катет будет равен \(10 / 2 = 5\).

Теперь мы можем найти длину окружности (периметр осевого сечения) с помощью формулы \(C = 2\pi r\), где \(r\) равен радиусу окружности, равному половине меньшего катета.

Подставим значения в формулу:
\[C = 2\pi \cdot 5 = 10\pi\]

Ответ: Периметр осевого сечения, получаемого вращением прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 и катетом 6 вокруг меньшего катета, равен \(10\pi\).

Теперь перейдем ко второй задаче. Мы должны найти площадь основания конуса.

Для начала давайте определим, что такое конус. Конус - это тело, у которого основание является кругом, а все точки боковой поверхности равноудалены от центра основания. В нашем случае, боковая поверхность конуса образует угол 45 градусов с основанием.

Формула для нахождения площади основания конуса:
- Площадь круга: \(S = \pi r^2\), где \(S\) - площадь круга, \(\pi\) - математическая константа пи (примерно 3,14), \(r\) - радиус круга.

У нас есть информация о боковой поверхности конуса. Боковая поверхность конуса формирует равнобедренный треугольник с основанием и образующей конуса. Так как у нас имеется угол 45 градусов, образующая конуса располагается посередине между равными сторонами треугольника.

Зная это, мы можем использовать тригонометрическую формулу для нахождения радиуса основания конуса:
\[r = \frac{{с}{i}{н}{u}{с}{\phi}}{2}\]
где \(\phi\) - угол между основанием и образующей конуса.

Подставим значения в формулу:
\[r = \frac{{с}{i}{н}{45}}{2} = \frac{{\sqrt{2}}}{2}\]

Теперь мы можем найти площадь основания конуса с помощью формулы \(S = \pi r^2\), где \(r\) равен радиусу основания.

Подставим значения в формулу:
\[S = \pi \left(\frac{{\sqrt{2}}}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{2}\]

Ответ: Площадь основания конуса составляет \(\frac{\pi}{2}\), при этом образующая конуса наклонена к основанию под углом 45 градусов, а высота конуса равна [впишите значение высоты конуса].

Я надеюсь, что ответы были понятны и полезны для вас. Если у вас есть еще вопросы или нужна помощь с другими задачами, пожалуйста, спрашивайте!