Что нужно посчитать: логарифм 160 по основанию 12, сложенный с логарифмом 0,9 по основанию

Для решения данной задачи, нам необходимо вычислить сумму двух логарифмов с различными основаниями. Давайте рассмотрим этот процесс пошагово.

1. Начнем с первого логарифма. Мы должны посчитать логарифм числа 160 по основанию 12. Обозначим это как \(\log_{12}(160)\).

2. Для поиска логарифма, мы задаем себе вопрос: "12 в какой степени равно 160?" То есть, мы ищем значение экспоненты, при возведении которой 12 в степень, получится 160.

3. Воспользуемся основным свойством логарифма, которое говорит, что \(\log_b(a^c) = c \cdot \log_b(a)\). Это свойство позволяет нам вынести степень из под логарифма и записать его в виде произведения.

4. Применяя это свойство к нашему выражению, получаем: \(\log_{12}(160) = \log_{12}(2^5 \cdot 5)\).

5. Теперь мы можем разделить эту сумму логарифмов на два отдельных логарифма: \(\log_{12}(2^5) + \log_{12}(5)\).

6. Опять же, используя основное свойство логарифма, мы можем записать данное выражение в виде: 5 \cdot \log_{12}(2) + \log_{12}(5).

7. Теперь, чтобы рассчитать значение первого логарифма, нам нужно узнать, в какую степень нужно возвести 12, чтобы получить 2. Это означает, что мы должны решить уравнение 12^x = 2.

8. Решим это уравнение. Возведем обе части в степень x и получим: 12^x = 2^1.

9. Так как мы имеем равенство степеней одинаковых чисел, то следует равенство их показателей: x = 1.

10. Подставляем это значение обратно в выражение 5 \cdot \log_{12}(2), получаем: 5 \cdot 1 = 5.

11. Теперь сосредоточимся на втором логарифме \(\log_{12}(5)\). Здесь мы не можем упростить его еще больше, так как число 5 не может быть записано в виде степени 12.

12. После выполнения всех предыдущих шагов, мы можем просуммировать найденные значения: 5 + \log_{12}(5).

Таким образом, ответ на исходную задачу равен \(5 + \log_{12}(5)\).