1. Найдите однозначные и непрерывные разветвления обратной функции для y=2x/(1-x^2). 2. Радиус круга составляет 7,2

1. Для нахождения обратной функции для уравнения \(y = \frac{2x}{1 - x^2}\) нужно решить это уравнение относительно \(x\) и выразить \(x\) через \(y\).

Исходное уравнение: \(y = \frac{2x}{1 - x^2}\).

Домножим оба выражения на \((1 - x^2)\):
\[y(1 - x^2) = 2x.\]

Раскроем скобки:
\[y - yx^2 = 2x.\]

Перенесем все слагаемые на одну сторону и приведем подобные:
\[yx^2 + 2x - y = 0.\]

Теперь это квадратное уравнение относительно \(x\).
Для нахождения его решений, используем квадратное уравнение \[ax^2 + bx + c = 0\], где
\[a = y,\]
\[b = 2,\]
\[c = -y.\]

Используя формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\), найдем значению дискриминанта:
\[D = 2^2 - 4 \cdot y \cdot (-y) = 4 + 4y^2.\]

Теперь рассмотрим три случая в зависимости от значения дискриминанта.

1. Если \(D > 0\), то есть \(4 + 4y^2 > 0\), то у уравнения есть два разных вещественных решения. Обозначим их через \(x_1\) и \(x_2\):
\[x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{4 + 4y^2}}{2y},\]
\[x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{4 + 4y^2}}{2y}.\]

2. Если \(D = 0\), то есть \(4 + 4y^2 = 0\), уравнение имеет одно уникальное решение:
\[x = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2y} = \frac{-1}{y}.\]

3. Если \(D < 0\), то есть \(4 + 4y^2 < 0\), уравнение не имеет вещественных решений.

Таким образом, однозначные и непрерывные разветвления обратной функции для \(y = \frac{2x}{1 - x^2}\) зависят от значения дискриминанта \(D\):
- Если \(D > 0\), тогда есть два разных вещественных решения \(x_1\) и \(x_2\).
- Если \(D = 0\), тогда есть одно уникальное решение \(x = \frac{-1}{y}\).
- Если \(D < 0\), тогда нет вещественных решений.

2. Для определения минимальной относительной погрешности при измерении площади круга, необходимо рассчитать эту погрешность.
Площадь круга вычисляется по формуле \(S = \pi r^2\), где \(r\) - радиус круга.

Для нахождения относительной погрешности используем следующую формулу:
\(\frac{\Delta S}{S} = \frac{\Delta r}{r}\),

где \(\Delta S\) - абсолютная погрешность измерения площади, \(\Delta r\) - абсолютная погрешность измерения радиуса, \(S\) - истинное значение площади, \(r\) - истинное значение радиуса.

Минимальная относительная погрешность будет, когда абсолютная погрешность измерения радиуса будет минимальной.

Исходя из задачи, минимальная абсолютная погрешность радиуса составляет ±0,1 м.

Подставляя значения в формулу, получаем:
\(\frac{\Delta S}{S} = \frac{0,1}{7,2} = \frac{1}{72}\).

3. Для определения абсолютной погрешности измерения стороны квадрата \(X\) необходимо учесть требуемую точность измерения площади квадрата.

Формула для площади квадрата: \(S = X^2\).

Максимальная погрешность площади равна 0,001 кв.м.

Теперь решим задачу по шагам:

- Составим неравенство с учетом погрешности:
\(|S - S_0| \leq \Delta S\),
где \(S\) - истинное значение площади, \(S_0\) - измеренное значение площади, \(\Delta S\) - максимальная абсолютная погрешность площади.

- Подставим выражение для площади квадрата:
\(|X^2 - S_0| \leq \Delta S\).

- Подставим значение погрешности площади:
\(|X^2 - S_0| \leq 0,001\).

- Разложим модуль:
\(-0,001 \leq X^2 - S_0 \leq 0,001\).

- Теперь рассмотрим два случая:

1) Если \(S_0 > X^2\), то неравенство примет вид:
\(-0,001 \leq S_0 - X^2 \leq 0,001\).

- Подставим значение площади:
\(-0,001 \leq S_0 - X^2 \leq 0,001\).

- Заметим, что для минимальной погрешности в данном случае достаточно, чтобы абсолютная погрешность равнялась максимальной погрешности:
\(S_0 - X^2 = 0,001\).

- Подставим значение площади: \(S_0 = X^2\).
\(X^2 - X^2 = 0,001\).

- Решим уравнение: \(0 = 0,001\). Данное уравнение не имеет решений.

2) Если \(S_0 < X^2\), то неравенство примет вид:
\(-0,001 \leq X^2 - S_0 \leq 0,001\).

- Подставим значение площади:
\(-0,001 \leq X^2 - S_0 \leq 0,001\).

- Заметим, что для минимальной погрешности в данном случае достаточно, чтобы абсолютная погрешность равнялась максимальной погрешности:
\(X^2 - S_0 = 0,001\).

- Подставим значение площади: \(S_0 = X^2\).
\(X^2 - X^2 = 0,001\).

- Решим уравнение: \(0 = 0,001\). Данное уравнение не имеет решений.

Таким образом, чтобы обеспечить точность измерения площади квадрата до 0,001 кв.м, абсолютная погрешность измерения стороны квадрата \(X\) не определяется требуемой погрешностью площади, так как нет решений для данного уравнения.