1. Для каждого из следующих неравенств, определите соответствующий вывод и объясните свой ответ. a) x + 4x + 10 <

Давайте решим каждое неравенство по порядку:

a) \(x + 4x + 10 < 2\)

Сначала сгруппируем переменные:
\(5x + 10 < 2\)

Затем вычтем 10 из обеих частей:
\(5x < -8\)

Теперь разделим на 5:
\(x < -\frac{8}{5}\)

Ответ: Решением данного неравенства является открытый промежуток \((-\infty, -\frac{8}{5})\).

b) \(x^2 + 10x - 25 > 0\)

У нас здесь квадратное неравенство, поэтому для начала найдем его корни. Решим квадратное уравнение:
\(x^2 + 10x - 25 = 0\)

Можно ли разложить это уравнение на множители? Нет, поэтому воспользуемся формулой дискриминанта.
Дискриминант \(D\) равен:
\(D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 100 + 100 = 200\)

Так как \(D > 0\), у нас есть два корня:
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{200}}{2} = \frac{-10 \pm 10\sqrt{2}}{2} = -5 \pm 5\sqrt{2}\]

Теперь определим, когда значение \(x^2 + 10x - 25\) больше нуля:

1) Если \(x < -5 - 5\sqrt{2}\), то \(x^2 + 10x - 25 > 0\);
2) Если \(x > -5 + 5\sqrt{2}\), то \(x^2 + 10x - 25 > 0\).

Ответ: Решением данного неравенства является объединение двух открытых промежутков \((- \infty, -5 - 5\sqrt{2}) \cup (-5 + 5\sqrt{2}, + \infty)\).

c) \(-x^2 + 3x + 2 \leq 0\)

Для начала поменяем местами слагаемые, чтобы получить неравенство с положительным коэффициентом перед квадратом:
\(x^2 - 3x - 2 \geq 0\)

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения:
\(x^2 - 3x - 2 = 0\)

Мы уже знаем, что дискриминант равен:
\(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17\)

Так как \(D > 0\), у нас есть два корня:
\[x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}\]

Теперь определим, когда значение \(x^2 - 3x - 2\) больше или равно нулю:

1) Если \(x \leq \frac{3 - \sqrt{17}}{2}\), то \(x^2 - 3x - 2 \leq 0\);
2) Если \(x \geq \frac{3 + \sqrt{17}}{2}\), то \(x^2 - 3x - 2 \leq 0\).

Ответ: Решением данного неравенства является закрытый промежуток \(\left[\frac{3 - \sqrt{17}}{2}, \frac{3 + \sqrt{17}}{2}\right]\).

d) \(-x^2 - 4 > 0\)

Для начала перейдем к положительному коэффициенту перед квадратом:
\(x^2 + 4 < 0\)

Так как квадратная часть неравенства всегда больше или равна нулю, а у нас здесь она меньше нуля, то решений данного неравенства не существует.

Ответ: Неравенство не имеет решений.