Сколько парт первый лаборант протирает за минуту, если второй протирает две парты медленнее и оба вместе заканчивают

Для решения этой задачи, давайте представим, что первый лаборант протирает \(x\) парт за минуту, а второй протирает парты медленнее и протирает \(\frac{1}{x}\) парты за минуту.

Из условия задачи мы узнаем, что если они работают вместе, то они заканчивают за 12 минут. Теперь мы можем написать уравнение, чтобы решить это задачу.

Первый лаборант протирает \(x\) парт за минуту, поэтому он может протирать \(\frac{1}{x}\) парт за \(1\) минуту. Аналогично, второй лаборант протирает \(\frac{1}{x}\) парт за минуту.

Если они работают вместе, то их совместная скорость протирания будет равна сумме их скоростей протирания. Используя эти данные, мы можем написать уравнение:

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{x-\frac{1}{x}} = \frac{1}{12}\)

Теперь давайте решим это уравнение.

Сначала найдем общий знаменатель для дробей в левой части уравнения:

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{x-\frac{1}{x}} = \frac{x}{x^2 - 1} + \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{x + 1}{x^2 - 1}\)

Теперь уравнение принимает вид:

\(\frac{x+1}{x^2-1} = \frac{1}{12}\)

Чтобы убрать дробь, мы можем умножить обе части уравнения на \(x^2 - 1\):

\(x + 1 = \frac{x^2 - 1}{12}\)

Далее, раскроем скобки в правой части уравнения и приведем его к квадратному виду:

\(x + 1 = \frac{x^2 - 1}{12} \Rightarrow x + 1 = \frac{x^2}{12} - \frac{1}{12} \Rightarrow \frac{x^2}{12} - x - \frac{13}{12} = 0\)

Для решения квадратного уравнения мы можем использовать метод дискриминанта или выразить его через полный квадрат. В данном случае будет удобнее воспользоваться методом дискриминанта.

Дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле:

\(D = b^2 - 4ac\)

В нашем случае, \(a = \frac{1}{12}\), \(b = -1\), \(c = -\frac{13}{12}\):

\(D = (-1)^2 - 4 \cdot \frac{1}{12} \cdot (-\frac{13}{12}) = 1 + \frac{13}{3} = \frac{16}{3}\)

Теперь мы можем решить уравнение, используя формулу корней:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

Подставим значения в формулу:

\(x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{\frac{16}{3}}}{2 \cdot \frac{1}{12}} = \frac{1 \pm \frac{4}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{6}} = 6 \cdot (1 \pm \frac{4}{\sqrt{3}})\)

Теперь, чтобы найти точное значение \(x\), мы должны выбрать корень (\(+\) или \(-\)) и подставить его обратно в уравнение.

Так как число парт должно быть положительным, мы выберем положительный корень:

\(x = 6 \cdot (1 + \frac{4}{\sqrt{3}})\)

Округлим этот результат до двух знаков после запятой:

\(x \approx 17.54\)

Таким образом, первый лаборант протирает примерно 17.54 парты за минуту.