1. Найдите неизвестные стороны треугольников mnp и m1n1p1, если mn = 4 см, np = 5 см, m1n1 = 12 см, n1p1 = 18

дaвм.

1. Чтобы найти неизвестные стороны треугольников $mnp$ и $m1n1p1$, у нас есть следующие данные:

$mn=4$ см,
$np=5$ см,
$m1n1=12$ см,
$n1p1=18$ см.

Треугольники $mnp$ и $m1n1p1$ - сходные треугольники, потому что соответствующие углы равны. Это означает, что соотношение длин сторон в этих треугольниках будет одинаковое.

Вычислим это соотношение:

$\frac{mn}{m1n1}=\frac{np}{n1p1}$.

Подставляя известные значения, получаем:

$\frac{4}{12}=\frac{5}{18}$.

Чтобы найти неизвестные стороны $mn$ и $np$, умножим обе части равенства на $12$:

$4\cdot 18=5\cdot 12$.

Это дает нам:

$72=60$.

Так как это неверное равенство, то ошибка где-то в вычислениях. Нам нужно проверить, правильно ли мы записали соотношение сторон треугольников. В данном случае, мы ошиблись и перепутали стороны. Верное соотношение будет:

$\frac{mn}{np}=\frac{m1n1}{n1p1}$.

Подставляем значения:

$\frac{4}{5}=\frac{12}{18}$.

Умножаем обе части равенства на $5$:

$4\cdot 18=12\cdot 5$.

Это дает нам:

$72=60$.

Опять неверное равенство, так как оно не выполняется. Опять произошла ошибка в вычислениях. Проверим еще раз:

$\frac{mn}{np}=\frac{m1n1}{n1p1}$.

Подставляем значения:

$\frac{4}{5}=\frac{12}{18}$.

Умножаем обе части на $18$:

$4\cdot 18=5\cdot 12$.

Таким образом, получаем:

$72=60$.

Опять неверное равенство. Но это верно, потому что стороны треугольников $mnp$ и $m1n1p1$ не могут быть одинаковыми длинами. Ошибка в исходных данных.

Ответ: Из-за ошибки в исходных данных, невозможно точно найти неизвестные стороны треугольников $mnp$ и $m1n1p1$.

2. Чтобы найти длину отрезка $dм$ в треугольнике $dek$, мы знаем следующие данные:

$de=6$ см,
$ek=9$ см,
$мk=4$ см.

Треугольник $dek$ - не указано, является ли он прямоугольным. Поэтому мы должны использовать соотношения между сторонами треугольника.

Воспользуемся теоремой внешних углов:

Сумма двух внешних углов треугольника равна третьему внешнему углу. Поэтому можно записать:

$\mathrm{\angle }dem+\mathrm{\angle }eмk=\mathrm{\angle }dek$.

Мы знаем, что биссектриса $ем$ делит угол $dek$ пополам, поэтому $\mathrm{\angle }dem=\mathrm{\angle }eмk$. Заменяем значения:

$\mathrm{\angle }eмk+\mathrm{\angle }eмk=\mathrm{\angle }dek$.

Таким образом:

$2\cdot \mathrm{\angle }eмk=\mathrm{\angle }dek$.

Известно, что сумма углов в треугольнике равна $180$ градусам, поэтому:

$\mathrm{\angle }dek+\mathrm{\angle }dek+\mathrm{\angle }eмk={180}^{\circ }$.

Подставляем значение угла дек:

$2\cdot \mathrm{\angle }eмk+2\cdot \mathrm{\angle }eмk={180}^{\circ }$.

Упрощаем:

$4\cdot \mathrm{\angle }eмk={180}^{\circ }$.

Таким образом, получаем:

$\mathrm{\angle }eмk=\frac{180}{4}={45}^{\circ }$.

Теперь, чтобы найти длину отрезка $dм$, мы можем использовать теорему косинусов:

$$d{м}^2=d{e}^2+e{м}^2-2\cdot de\cdot eм\cdot \cos (\mathrm{\angle }dem).$$

Подставляем известные значения:

$$d{м}^2=6^2+4^2-2\cdot 6\cdot 4\cdot \cos ({45}^{\circ }).$$

Вычисляем значение выражения:

$$d{м}^2=36+16-48\cdot \cos ({45}^{\circ }).$$

Упрощаем:

$$d{м}^2=52-48\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Делаем дальнейшие вычисления:

$$d{м}^2=52-24\cdot \sqrt{2}.$$

Таким образом, получаем:

$$dм\approx \sqrt{52-24\cdot \sqrt{2}}.$$

Ответ: Длина отрезка $dм$ в треугольнике $dek$ приближенно равна $\sqrt{52-24\cdot \sqrt{2}}$.

3. Чтобы найти отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит данную диагональ трапеции, у нас есть следующие данные:

Одна из диагоналей равна 28 см, а другая диагональ делится на отрезки длиной 5 см и 9 см.

Обозначим точку пересечения диагоналей как $О$. Пусть отрезок, на который точка $О$ делит диагональ, равен $х$. Тогда отрезок, который делит диагональ на противоположные отрезки, будет равен $28-х$.

Используя свойство подобных треугольников, мы можем записать следующее соотношение:

$\frac{5}{9}=\frac{х}{28-х}$.

Чтобы решить это уравнение, умножим оба части на $28-х$:

$5\cdot (28-х)=9\cdot х$.

Раскрываем скобки:

$140-5х=9х$.

Переносим все $х$ на одну сторону:

$9х+5х=140$.

Складываем $х$:

$14х=140$.

Разделим обе части на $14$:

$х=10$.

Таким образом, точка пересечения диагоналей делит данную диагональ на отрезки длиной $10$ см и $28-10=18$ см.

Ответ: Точка пересечения диагоналей делит данную диагональ трапеции на отрезки длиной $10$ см и $18$ см.

4. Чтобы найти отрезки, на которые точка пересечения хорд $аv$ и $сd$ делит отрезок $дм$ на окружности, мы знаем следующие данные:

$ам=2$ см,
$вм=9$ см,
отрезок $см$ в $2$ раза больше, чем отрезок $ав$.

Обозначим точку пересечения хорд $аv$ и $сd$ как $О$. Пусть отрезок, на который точка $О$ делит отрезок $дм$, равен $х$. Тогда отрезок, который делит отрезок $дм$ на противоположные отрезки, будет равен $дм-х$.

Используя свойство подобных треугольников и теорему Фалеса, мы можем записать следующие соотношение:

$\frac{ав}{вм}=\frac{х}{дм-х}$.

Подставим значения:

$\frac{2}{9}=\frac{х}{дм-х}$.

Умножим обе части на $дм-х$:

$2\cdot (дм-х)=9\cdot х$.

Раскрываем скобки:

$2дм-2х=9х$.

Переносим все $х$ на одну сторону:

$9х+2х=2дм$.

Складываем $х$:

$11х=2дм$.

Разделим обе части на $11$:

$х=\frac{2дм}{11}$.

Таким образом, точка пересечения хорд $ав$ и $сd$ делит отрезок $дм$ на отрезки длиной $\frac{2дм}{11}$ и $дм-\frac{2дм}{11}=\frac{9дм}{11}$.

Ответ: Точка пересечения хорд $аv$ и $сd$ делит отрезок $дм$ на отрезки длиной $\frac{2дм}{11}$ и $\frac{9дм}{11}$.