1. Найдите координаты всех векторов треугольника АВС. 2. Определите периметр треугольника АВС. 3. Вычислите косинусы

Хорошо, по порядку рассмотрим каждую задачу:

1. Для начала, найдем векторы, соединяющие вершины треугольника:
Вектор AB: \(\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (0 - (-3), -1 - (-1), -1 - (-1)) = (3, 0, 0)\)
Вектор AC: \(\overrightarrow{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A) = (2 - (-3), -1 - (-1), -1 - (-1)) = (5, 0, 0)\)
Вектор BC: \(\overrightarrow{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B, z_C - z_B) = (2 - 0, -1 - (-1), -1 - (-1)) = (2, 0, 0)\)

Таким образом, координаты всех векторов треугольника АВС равны:
\(\overrightarrow{AB} = (3, 0, 0)\)
\(\overrightarrow{AC} = (5, 0, 0)\)
\(\overrightarrow{BC} = (2, 0, 0)\)

2. Чтобы найти периметр треугольника, нужно вычислить длины его сторон и сложить их:
AB: \(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 0^2} = 3\)
AC: \(|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{5^2 + 0^2 + 0^2} = 5\)
BC: \(|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 0^2} = 2\)

Периметр треугольника ABC равен сумме длин его сторон:
Периметр = AB + AC + BC = 3 + 5 + 2 = 10

3. Чтобы вычислить косинусы углов треугольника ABC, воспользуемся формулой косинуса для каждого угла. Пусть A, B и C - вершины треугольника, a, b и c - длины сторон противоположные соответствующим углам. Тогда косинус угла A равен:
\[\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\]
Аналогично считаем косинусы остальных углов.

Для угла A (против стороны BC):
AB = 3, AC = 5, BC = 2
\[\cos(A) = \frac{2^2 + 5^2 - 3^2}{2 \cdot 2 \cdot 5} = \frac{4 + 25 - 9}{20} = \frac{20}{20} = 1\]

Для угла B (против стороны AC):
AB = 3, AC = 5, BC = 2
\[\cos(B) = \frac{5^2 + 2^2 - 3^2}{2 \cdot 5 \cdot 2} = \frac{25 + 4 - 9}{20} = \frac{20}{20} = 1\]

Для угла C (против стороны AB):
AB = 3, AC = 5, BC = 2
\[\cos(C) = \frac{3^2 + 2^2 - 5^2}{2 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{9 + 4 - 25}{12} = \frac{-12}{12} = -1\]

Таким образом, косинус угла A равен 1, косинус угла B равен 1, а косинус угла C равен -1.

4. Чтобы найти координаты середин сторон треугольника, нужно вычислить средние значения координат точек, составляющих стороны.

Координаты точки M1, являющейся серединой стороны AB:
\(x_{M1} = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-3 + 0}{2} = -\frac{3}{2}\)
\(y_{M1} = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{-1 + -1}{2} = -1\)
\(z_{M1} = \frac{z_A + z_B}{2} = \frac{-1 + -1}{2} = -1\)

Координаты точки M2, являющейся серединой стороны AC:
\(x_{M2} = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{-3 + 2}{2} = -\frac{1}{2}\)
\(y_{M2} = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{-1 + -1}{2} = -1\)
\(z_{M2} = \frac{z_A + z_C}{2} = \frac{-1 + -1}{2} = -1\)

Координаты точки M3, являющейся серединой стороны BC:
\(x_{M3} = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{0 + 2}{2} = 1\)
\(y_{M3} = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{-1 + -1}{2} = -1\)
\(z_{M3} = \frac{z_B + z_C}{2} = \frac{-1 + -1}{2} = -1\)

Таким образом, координаты середин сторон треугольника ABC равны:
M1: \(\left(-\frac{3}{2}, -1, -1\right)\)
M2: \(\left(-\frac{1}{2}, -1, -1\right)\)
M3: \((1, -1, -1)\)

Надеюсь, ответы были подробными и понятными для вас! Если есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!