1) Найдите координаты середины отрезка CO в параллелограмме ABCD, где A(-2; 1), B(2; 5), D(6; -1) и O - точка

1) Чтобы найти координаты середины отрезка СО, нам необходимо найти среднее арифметическое значений координат точек C и O. Обозначим координаты точки O как (x, y).

Координаты точки C равны (x₁, y₁), а координаты точки O равны (x, y). Зная, что точка O является точкой пересечения диагоналей параллелограмма, можем составить следующую систему уравнений:
\[ x₁ = \frac{{x - 2}}{2} \] (1)
\[ y₁ = \frac{{y + 5}}{2} \] (2)

Также нам известны координаты точек A(-2, 1), B(2, 5) и D(6, -1). Используя данные точки, можем составить ещё два уравнения:
\[ x₁ = \frac{{-2 + 6}}{2} \] (3)
\[ y₁ = \frac{{1 + (-1)}}{2} \] (4)

Решим эту систему уравнений методом подстановки. Подставим значение x из уравнения (3) в уравнение (1):
\[ \frac{{-2 + 6}}{2} = \frac{{x - 2}}{2} \]
\[ 2 = x - 2 \]
\[ x = 4 \]

Теперь подставим значение y из уравнения (4) в уравнение (2):
\[ \frac{{1 + (-1)}}{2} = \frac{{y + 5}}{2} \]
\[ 0 = y + 5 \]
\[ y = -5 \]

Таким образом, координаты середины отрезка CO равны (4, -5).

2) Чтобы найти углы треугольника ABC, заданного координатами его вершин A(2, 2√3), B(0, 0), C(3, √3), мы можем использовать формулу для вычисления угла треугольника по его координатам.

Угол между двумя векторами можно найти с помощью скалярного произведения векторов. Позвольте мне обозначить векторы AB и AC как \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) соответственно.

\[ \vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (0 - 2, 0 - 2\sqrt{3}) = (-2, -2\sqrt{3}) \]
\[ \vec{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (3 - 2, \sqrt{3} - 2\sqrt{3}) = (1, -\sqrt{3}) \]

Скалярное произведение векторов можно вычислить по формуле:
\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\angle BAC) \]

где \( |\vec{AB}| \) и \( |\vec{AC}| \) - длины векторов, а \( \angle BAC \) - угол между векторами.

Длины векторов можно найти, применив формулу:
\[ |\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 \]
\[ |\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \]

Теперь мы можем выразить угол между векторами:
\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \cdot 2 \cdot \cos(\angle BAC) \]

\[ -2 \cdot 1 + (-2\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3}) = 8 \cdot \cos(\angle BAC) \]

\[ -2 + 6 = 8 \cdot \cos(\angle BAC) \]

\[ 4 = 8 \cdot \cos(\angle BAC) \]

\[ \cos(\angle BAC) = \frac{4}{8} \]

\[ \cos(\angle BAC) = \frac{1}{2} \]

Таким образом, угол между векторами AB и AC равен 60 градусов.

3) Чтобы найти медианы треугольника MNK, где MN = 4, MK = 6 и угол M равен 60 градусов, мы можем использовать формулу для вычисления медианы треугольника. Обозначим медианы треугольника MNK как MA, NB и KC.

В треугольнике медианы делят стороны пополам. Зная длины сторон MN и MK, мы можем вычислить длины MA и NA следующим образом:

Длина MA = MN / 2 = 4 / 2 = 2

Длина NA = NK / 2 = 6 / 2 = 3

Таким образом, медиана MA равна 2, а медиана NA равна 3.

Также мы можем использовать формулу для вычисления длины медианы, которая также связана с длинами сторон треугольника и углом между медианой и соответствующей стороной.

Формула для вычисления длины медианы Mx, где x может быть любой из вершин треугольника, заданных длинами сторон и углом между медианой и соответствующей стороной, будет выглядеть следующим образом:

\[ Mx = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot (a^2 + c^2) - b^2} \]

где a, b и c - длины сторон, соответствующие вершине x.

Зная, что угол M равен 60 градусам, длины сторон MN и MK и указанную формулу, мы можем вычислить длину медианы KM:

\[ MK = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot (MN^2 + KN^2) - MN^2} \]

\[ 6 = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot (4^2 + KN^2) - 4^2} \]

\[ 12 = 2 \cdot (4^2 + KN^2) - 4^2 \]

\[ 12 = 32 + 2 \cdot KN^2 - 16 \]

\[ 12 - 32 + 16 = 2 \cdot KN^2 \]

\[ 16 = 2 \cdot KN^2 \]

\[ KN^2 = 8 \]

\[ KN = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

Таким образом, медиана KM равна \( 2\sqrt{2} \).

В итоге, медианы треугольника MNK равны:

MA = 2, NA = 3 и KM = \(2\sqrt{2}\).