1. Найдите координаты центра сферы и её радиус, если дано уравнение сферы: 2х² - 2у + 2z² - 2z + 2 + 1 = 0. Координаты

Задача 1:

Имеем уравнение сферы \(2x^2 - 2y + 2z^2 - 2z + 2 + 1 = 0\).

Для начала приведем уравнение сферы к каноническому виду. Раскроем скобки:

\(2x^2 - 2y + 2z^2 - 2z + 3 = 0\).

Теперь выделим целую часть уравнения и оставим только переменные:

\(2x^2 + 2z^2 - 2y - 2z = -3\).

Для того чтобы получить каноническое уравнение сферы, необходимо выразить переменные \(x\), \(y\) и \(z\) через комплексные числа:

\(x = \frac{a}{2}\),
\(y = \frac{b}{-2}\),
\(z = \frac{c}{2}\).

Теперь подставим эти значения в уравнение и приведем его к каноническому виду:

\(\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2 - \frac{b}{2} - \frac{c}{2} = -\frac{3}{2}\).

Упростим уравнение, умножив все члены на 4:

\(a^2 + c^2 - 2b - 2c = -6\).

Теперь выразим переменные \(a\), \(b\) и \(c\) через центр сферы и радиус:

\(a = 2r\),
\(b = -2y_c\),
\(c = 2z_c\).

Подставим эти значения в уравнение и получим:

\((2r)^2 + (2z_c)^2 - 2(-2y_c) - 2(2z_c) = -6\).

Упростим уравнение:

\(4r^2 + 4z_c^2 + 4y_c + 4z_c = -6\).

Теперь приведем уравнение к окончательному виду, вынесем общий множитель:

\(4(r^2 + y_c + z_c) + 4z_c^2 = -6\).

Разделим оба члена уравнения на 4:

\(r^2 + y_c + z_c + z_c^2 = -\frac{3}{2}\).

Таким образом, мы получили окончательное каноническое уравнение сферы:

\(r^2 + 2y_c + 2z_c + z_c^2 = -\frac{3}{8}\).

Ответ: координаты центра сферы (х; у; z) равны \(\left(0; -\frac{1}{4}; \frac{1}{2}\right)\), а радиус сферы равен \(\sqrt{\frac{3}{8}} \approx 0.612\).

Задача 2:

Уравнение сферы с центром в точке (3; -4; 5) и точкой на сфере (3; 0; 2) может быть представлено следующим образом:

\((x - 3)^2 + (y + 4)^2 + (z - 5)^2 = r^2\),

где \(r\) - радиус сферы.

Подставим координаты точки (3; 0; 2) и разделим оба члена уравнения на \(r^2\):

\((3 - 3)^2 + (0 + 4)^2 + (2 - 5)^2 = 1\).

Упростим уравнение:

\(16 + 9 = 1\).

Получили противоречие, так как сумма двух положительных чисел не может быть равна единице. Следовательно, уравнение сферы с данными координатами и точкой не имеет решений.

Ответ: в данном случае уравнение сферы с заданными координатами центра и точкой не имеет решений.