1) Найдите два положительных числа, у которых одно больше другого на 12, и их произведение равно 405. 2) Одна из сторон

1) Пусть первое положительное число равно \(x\), тогда второе положительное число будет \(x + 12\). Мы знаем, что произведение этих двух чисел равно 405. Можем записать уравнение:

\[x \cdot (x + 12) = 405\]

Раскроем скобки:

\[x^2 + 12x = 405\]

Теперь приведем квадратное уравнение к стандартному виду:

\[x^2 + 12x - 405 = 0\]

Для нахождения решений этого уравнения, воспользуемся формулой дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

Где \(a = 1\), \(b = 12\), и \(c = -405\).

Вычислим дискриминант:

\[D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-405) = 12^2 + 4 \cdot 1 \cdot 405 = 144 + 1620 = 1764\]

Теперь найдем два значения \(x\), используя формулу:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[
x = \frac{-12 \pm \sqrt{1764}}{2 \cdot 1}
\]

Раскроем корень:

\[x = \frac{-12 \pm 42}{2}\]

Теперь найдем два значения\(x\):

\[x_1 = \frac{-12 + 42}{2} = \frac{30}{2} = 15\]

\[x_2 = \frac{-12 - 42}{2} = \frac{-54}{2} = -27\]

У нас получилось два значения для первого положительного числа: 15 и -27. Однако, условие говорит, что числа должны быть положительными, следовательно, решением будет только число 15. Второе положительное число будет равно:

\[x + 12 = 15 + 12 = 27\]

Таким образом, два положительных числа, которые соответствуют условию задачи, равны 15 и 27.

2) Пусть одна сторона прямоугольника равна \(x\) см, тогда другая сторона будет \(x + 15\) см. Мы также знаем, что площадь прямоугольника равна 324 см². Можем записать уравнение:

\[x \cdot (x + 15) = 324\]

Раскроем скобки:

\[x^2 + 15x = 324\]

Теперь приведем квадратное уравнение к стандартному виду:

\[x^2 + 15x - 324 = 0\]

Для нахождения решений этого уравнения, воспользуемся формулой дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

Где \(a = 1\), \(b = 15\), и \(c = -324\).

Вычислим дискриминант:

\[D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-324) = 225 + 1296 = 1521\]

Теперь найдем два значения \(x\), используя формулу:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[
x = \frac{-15 \pm \sqrt{1521}}{2 \cdot 1}
\]

Раскроем корень:

\[x = \frac{-15 \pm 39}{2}\]

Теперь найдем два значения \(x\):

\[x_1 = \frac{-15 + 39}{2} = \frac{24}{2} = 12\]

\[x_2 = \frac{-15 - 39}{2} = \frac{-54}{2} = -27\]

У нас получилось два значения для одной из сторон прямоугольника: 12 и -27. Однако, условие говорит, что стороны должны быть положительными, следовательно, решением будет только число 12. Другая сторона прямоугольника будет равна:

\[x + 15 = 12 + 15 = 27\]

Таким образом, длины сторон этого прямоугольника равны 12 см и 27 см.

3) Пусть первый рабочий может выполнять работу за \(x\) часов, тогда второй рабочий будет выполнять эту работу за \(x + 12\) часов. Мы знаем, что они вместе выполняют работу за 8 часов. Можем записать уравнение:

\[\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 12} = \frac{1}{8}\]

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[
\frac{x + 12 + x}{x(x + 12)} = \frac{1}{8}
\]

\[
\frac{2x + 12}{x(x + 12)} = \frac{1}{8}
\]

Умножим обе части уравнения на 8, чтобы избавиться от дроби в знаменателе:

\[
8 \cdot \frac{2x + 12}{x(x + 12)} = 8 \cdot \frac{1}{8}
\]

\[
\frac{16x + 96}{x(x + 12)} = 1
\]

Раскроем скобки:

\[
\frac{16x + 96}{x^2 + 12x} = 1
\]

Умножим обе части уравнения на \(x^2 + 12x\), чтобы избавиться от дроби:

\[
(x^2 + 12x) \cdot \frac{16x + 96}{x^2 + 12x} = (x^2 + 12x) \cdot 1
\]

\[
16x + 96 = x^2 + 12x
\]

Приведем уравнение квадратного уравнения к стандартному виду:

\[
x^2 + 12x - 16x - 96 = 0
\]

\[
x^2 - 4x - 96 = 0
\]

Для нахождения решений этого уравнения, воспользуемся формулой дискриминанта:

\[
D = b^2 - 4ac
\]

Где \(a = 1\), \(b = -4\), и \(c = -96\).

Вычислим дискриминант:

\[
D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400
\]

Теперь найдем два значения \(x\), используя формулу:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
\]

\[
x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{400}}{2 \cdot 1}
\]

Раскроем корень:

\[
x = \frac{4 \pm 20}{2}
\]

Теперь найдем два значения для \(x\):

\[
x_1 = \frac{4 + 20}{2} = \frac{24}{2} = 12
\]

\[
x_2 = \frac{4 - 20}{2} = \frac{-16}{2} = -8
\]

У нас получилось два значения для первого рабочего: 12 и -8. Однако, условие говорит, что рабочие должны работать положительное количество часов, следовательно, решением будет только число 12. Второй рабочий будет выполнять работу за:

\[
x + 12 = 12 + 12 = 24
\]

Таким образом, первый рабочий может выполнить всю работу за 12 часов, а второй рабочий может выполнить всю работу за 24 часа.

4) Скорость катера составляет 20 км/ч. Чтобы найти расстояние, которое он проплывает против течения и обратно, нам нужно знать время, которое он тратит на каждое из этих путешествий. Давайте пусть время, затраченное на проплавание против течения, будет \(t\) часов. Тогда время, затраченное на плавание по течению, будет \(t\) часов также.

Расстояние, проплываемое катером против течения, может быть выражено как \(20t\) км, потому что скорость катера составляет 20 км/ч. Расстояние, проплываемое катером по течению, также будет \(20t\) км.

Задание говорит, что расстояние, которое катер проплывает против течения и возвращается по течению, одинаково. Обозначим это расстояние как \(d\) км.

Тогда у нас есть уравнение:

\(20t + 20t = d\)

Скомбинируем подобные члены:

\(40t = d\)

Таким образом, расстояние \(d\) равно 40t км.

Мы также знаем, что время, затраченное на каждое из этих путешествий, составляет в сумме 8 часов. То есть,

\(t + t = 8\)

Из этого уравнения мы можем найти значение \(t\):

\(2t = 8\)

\(t = 4\)

Таким образом, время, затраченное на каждое из путешествий, равно 4 часов.

Теперь найдем расстояние \(d\):

\(d = 40t = 40 \times 4 = 160\) км.

Таким образом, катер проплывает расстояние 160 км против течения и возвращаетс₽ по течению.