1) Найдите длину сегмента ef и определите координаты его середины, при условии, что e (-5; 2) и f (7; -6). 2) Составьте

Конечно, я могу решить эти задачи. Давайте начнем с первой.

1) Чтобы найти длину сегмента ef и его середину, мы можем использовать формулы расстояния и средней точки.

Для начала найдем длину сегмента ef, используя формулу расстояния между двумя точками:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

Заменим значения точек e (-5; 2) и f (7; -6) в эту формулу:

\[d = \sqrt{{(7 - (-5))^2 + (-6 - 2)^2}}\]
\[d = \sqrt{{(12)^2 + (-8)^2}}\]
\[d = \sqrt{{144 + 64}}\]
\[d = \sqrt{208}\]

Таким образом, длина сегмента ef равна \(\sqrt{208}\).

Теперь найдем координаты середины сегмента ef, используя формулу средней точки:

\[(x_m, y_m) = \left(\frac{{x_1 + x_2}}{2}, \frac{{y_1 + y_2}}{2}\right)\]

Подставим значения точек e (-5; 2) и f (7; -6) в эту формулу:

\[(x_m, y_m) = \left(\frac{{-5 + 7}}{2}, \frac{{2 + (-6)}}{2}\right)\]
\[(x_m, y_m) = \left(\frac{{2}}{2}, \frac{{-4}}{2}\right)\]
\[(x_m, y_m) = (1, -2)\]

Таким образом, координаты середины сегмента ef равны (1, -2).

2) Чтобы составить уравнение окружности с центром в точке c (5; -3) и проходящей через точку n(2; -4), мы можем использовать формулу окружности:

\[(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\]

Где (h, k) - координаты центра окружности, а \(r\) - радиус окружности.

Значения координат центра окружности (h, k) равны (5, -3), а точка на окружности n(2, -4), значит радиус (\(r\)) равен расстоянию между центром окружности и точкой на окружности:

\[r = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]
\[r = \sqrt{{(2 - 5)^2 + (-4 - (-3))^2}}\]
\[r = \sqrt{{(-3)^2 + (-1)^2}}\]
\[r = \sqrt{{9 + 1}}\]
\[r = \sqrt{10}\]

Таким образом, радиус окружности \(r\) равен \(\sqrt{10}\).

Мы можем подставить значения координат центра окружности (5, -3) и радиуса \(\sqrt{10}\) в формулу окружности:

\[(x - 5)^2 + (y - (-3))^2 = (\sqrt{10})^2\]
\[(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 10\]

Таким образом, уравнение окружности с центром в точке c (5, -3) и проходящей через точку n(2, -4) будет \((x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 10\).

3) Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точки d(-3, 9) и k(5, -7), мы можем использовать формулу прямой:

\[\frac{{y - y_1}}{{x - x_1}} = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]

Заменим значения точек d(-3, 9) и k(5, -7) в эту формулу:

\[\frac{{y - 9}}{{x - (-3)}} = \frac{{-7 - 9}}{{5 - (-3)}}\]
\[\frac{{y - 9}}{{x + 3}} = \frac{{-16}}{{8}}\]
\[\frac{{y - 9}}{{x + 3}} = -2\]

Таким образом, уравнение прямой, которая проходит через точки d(-3, 9) и k(5, -7), будет \(\frac{{y - 9}}{{x + 3}} = -2\).

4) Чтобы определить координаты вершины k параллелограмма efpk, нам не хватает некоторой информации. Мы знаем координаты точек e(3, -1), f(-3, 3) и p(2, ?), но не знаем координат вершины k. Если у вас есть информация о координатах вершины k, пожалуйста, предоставьте ее, и я буду рад помочь вам найти координаты середины.