1. Найдите длину отрезка mn и координаты его середины, если точка m имеет координаты (-4; 3), а точка n имеет

Sure, I"ll provide detailed and step-by-step solutions for each problem.

1. Для решения данной задачи воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат. Формула записывается следующим образом:
\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

где \(d\) - расстояние между точками \(m\) и \(n\), \((x_1, y_1)\) - координаты точки \(m\), \((x_2, y_2)\) - координаты точки \(n\).

Подставим значения координат точек в формулу:
\[d = \sqrt{{(6 - (-4))^2 + (-5 - 3)^2}}\]
\[d = \sqrt{{10^2 + (-8)^2}}\]
\[d = \sqrt{{100 + 64}}\]
\[d = \sqrt{164}\]
\[d \approx 12.81\]

Теперь найдем координаты середины отрезка \(mn\). Для этого найдем среднее арифметическое значения координат точек \(m\) и \(n\):
\[x_{\text{середина}} = \frac{{x_m + x_n}}{2} = \frac{{-4 + 6}}{2} = \frac{2}{2} = 1\]
\[y_{\text{середина}} = \frac{{y_m + y_n}}{2} = \frac{{3 + (-5)}}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]

Таким образом, длина отрезка \(mn\) составляет приблизительно 12.81, а его середина находится в точке с координатами (1, -1).

2. Чтобы составить уравнение окружности с центром в точке \(f(-3, 3)\) и проходящей через точку \(n(5, -9)\), воспользуемся формулой окружности:
\((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)

где \((h, k)\) - координаты центра окружности, \(r\) - радиус окружности.

Подставим значения координат центра и проходящей точки в уравнение:
\((x - (-3))^2 + (y - 3)^2 = (r)^2\)
\((x + 3)^2 + (y - 3)^2 = r^2\)

Затем подставим значение координат из точки \(n(5, -9)\):
\((5 + 3)^2 + (-9 - 3)^2 = r^2\)
\(8^2 + (-12)^2 = r^2\)
\(64 + 144 = r^2\)
\(r^2 = 208\)

Таким образом, уравнение окружности будет следующим:
\((x + 3)^2 + (y - 3)^2 = 208\)

3. Чтобы найти координаты вершины \(c\) параллелограмма \(abcd\), воспользуемся тем фактом, что диагонали параллелограмма делятся пополам. Таким образом, вершина \(c\) будет являться серединной точкой диагонали, соединяющей точки \(a\) и \(b\).

Для нахождения координат вершины \(c\) применим формулы для нахождения среднего арифметического значения координат точек:
\[x_{\text{середина}} = \frac{{x_a + x_b}}{2} = \frac{{-3 + (-1)}}{2} = \frac{{-4}}{2} = -2\]
\[y_{\text{середина}} = \frac{{y_a + y_b}}{2} = \frac{{3 + 4}}{2} = \frac{{7}}{2} = 3.5\]

Таким образом, координаты вершины \(c\) равны (-2, 3.5).

4. Чтобы составить уравнение прямой, проходящей через точку \(d(3, -4)\) и точку \(b(5, 8)\), воспользуемся формулой для уравнения прямой в общем виде:
\[y - y_1 = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}(x - x_1)\]

Запишем уравнение, подставив значения координат точек:
\[y - (-4) = \frac{{8 - (-4)}}{{5 - 3}}(x - 3)\]
\[y + 4 = \frac{{12}}{{2}}(x - 3)\]
\[y + 4 = 6(x - 3)\]
\[y + 4 = 6x - 18\]
\[y = 6x - 18 - 4\]
\[y = 6x - 22\]

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку \(d(3, -4)\) и точку \(b(5, 8)\), будет следующим:
\[y = 6x - 22\]

5. Чтобы найти координаты точки, которая лежит на оси абсцисс и находится на равном удалении от точек \(d(1, 10)\) и