1) Найдите длину отрезка BL в треугольнике АВС, если AL является высотой треугольника, АВ = 1 см, АС = √15, а АD

1) Для решения задачи, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, так как имеем прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой BC.

Из условия, мы знаем, что АВ = 1 см, АС = √15 см и АD = 2 см.

Давайте найдем длину ВС с использованием теоремы Пифагора:

\[\text{АС}^2 = \text{АВ}^2 + \text{ВС}^2\]
\[\sqrt{15}^2 = 1^2 + \text{ВС}^2\]
\[15 = 1 + \text{ВС}^2\]
\[\text{ВС}^2 = 14\]
\[\text{ВС} = \sqrt{14}\]

Теперь длину BL можно найти с использованием подобия треугольников. Поскольку треугольник ABC прямоугольный, высота AL, база BC и гипотенуза AC образуют подобные треугольники.

\[\frac{\text{AL}}{\text{AB}} = \frac{\text{AC}}{\text{BC}}\]
\[\frac{\text{AL}}{1} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{14}}\]
\[\text{AL} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{14}}\]

Теперь, чтобы найти длину BL, мы можем использовать разность длин segmentAL и segmentAL:

\[\text{BL} = \text{AL} - \text{AD} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{14}} - 2\]

2) Для решения этой задачи, давайте представим трапецию ABCD с основаниями AB и CD. По условию, диагонали AC и BD перпендикулярны друг другу, а средняя линия EF (где E и F - середины BC и AD соответственно) равна 4 см.

Давайте обозначим высоту трапеции как h.

Теперь, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения h:

\[h^2 = EF^2 + AE^2\]
\[h^2 = 4^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2\]
\[h^2 = 16 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2\]
\[h^2 = 16 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2\]
\[h^2 = 16 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2\]
\[h^2 = 16 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2\]
\[h^2 = 16 + \left(\frac{1}{2}\right)^2\]
\[h^2 = 16 + \frac{1}{4}\]
\[h^2 = \frac{65}{4}\]
\[h = \frac{\sqrt{65}}{2}\]

Таким образом, высота трапеции равна \(\frac{\sqrt{65}}{2}\).

3) Для решения этой задачи, нам дано, что сторона ромба равна 5 см, а соотношение длин диагоналей составляет \( \frac{3}{4} \). Обозначим длину меньшей диагонали как x, а длину большей диагонали как y.

Из соотношения длин диагоналей, у нас есть следующее:

\[\frac{x}{y} = \frac{3}{4}\]

Известно, что стороны ромба и его диагонали образуют прямоугольные треугольники.

Таким образом, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны ромба:

\[5^2 = \left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2\]
\[25 = \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4}\]
\[100 = x^2 + y^2\]

Мы также можем использовать соотношение длин диагоналей, чтобы найти значение x:

\[\frac{x}{y} = \frac{3}{4}\]
\[x = \frac{3y}{4}\]

Подставим это значение обратно в уравнение:

\[100 = \left(\frac{3y}{4}\right)^2 + y^2\]
\[100 = \frac{9y^2}{16} + y^2\]
\[100 = \frac{9y^2 + 16y^2}{16}\]
\[100 = \frac{25y^2}{16}\]
\[y^2 = \frac{100 \cdot 16}{25}\]
\[y = \frac{4 \cdot 8}{5}\]
\[y = \frac{32}{5}\]

Теперь, чтобы найти длину x, мы можем использовать соотношение длин диагоналей:

\[\frac{x}{y} = \frac{3}{4}\]
\[\frac{x}{\frac{32}{5}} = \frac{3}{4}\]
\[x = \frac{3 \cdot 32}{4 \cdot 5}\]
\[x = \frac{24}{5}\]

Итак, меньшая диагональ ромба равна \(\frac{24}{5}\) см, а большая диагональ равна \(\frac{32}{5}\) см. Для нахождения суммы длин диагоналей, мы должны просто сложить эти два значения:

\[\text{Сумма длин диагоналей} = \frac{24}{5} + \frac{32}{5} = \frac{56}{5}\]

Таким образом, сумма длин диагоналей ромба равна \(\frac{56}{5}\) см.