1. Найдите длину и середину отрезка, если точки M и N имеют следующие координаты: M (-4; 3) и N (6; -5). 2. Напишите

Хорошо! Давайте решим каждую задачу по очереди:

1. Чтобы найти длину отрезка MN, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в координатной плоскости. Формула имеет вид:
\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]
где \(d\) - расстояние между точками, \(x_1\), \(y_1\) - координаты первой точки, \(x_2\), \(y_2\) - координаты второй точки.

В нашем случае, координаты точки M равны (-4; 3), а координаты точки N равны (6; -5). Вставляя эти значения в формулу, мы получаем:
\[d = \sqrt{{(6 - (-4))^2 + (-5 - 3)^2}}\]
\[d = \sqrt{{(10)^2 + (-8)^2}}\]
\[d = \sqrt{{100 + 64}}\]
\[d = \sqrt{{164}}\]
\[d \approx 12,81\]

Теперь давайте найдем середину отрезка MN. Для этого сначала найдем среднее арифметическое координат точек M и N. Формула для нахождения середины отрезка имеет вид:
\[x_c = \frac{{x_1 + x_2}}{2}\]
\[y_c = \frac{{y_1 + y_2}}{2}\]
где \(x_c\), \(y_c\) - координаты середины отрезка, \(x_1\), \(y_1\) - координаты первой точки, \(x_2\), \(y_2\) - координаты второй точки.

Вставляя значения координат точек M и N в формулу, мы получаем:
\[x_c = \frac{{-4 + 6}}{2}\]
\[x_c = \frac{{2}}{2}\]
\[x_c = 1\]

\[y_c = \frac{{3 + (-5)}}{2}\]
\[y_c = \frac{{-2}}{2}\]
\[y_c = -1\]

Таким образом, длина отрезка MN составляет около 12,81, а его середина имеет координаты (1; -1).

2. Для нахождения уравнения окружности, мы будем использовать уравнение окружности вида:
\[(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\]
где (h, k) - координаты центра окружности, \(r\) - радиус окружности.

Мы знаем, что центр окружности находится в точке F с координатами (3, -2), а окружность проходит через точку N с координатами (5, -9). Чтобы найти радиус окружности \(r\), мы можем использовать формулу расстояния между центром окружности и точкой на окружности. Формула имеет вид:
\[r = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]
где \(r\) - радиус окружности, \(x_1\), \(y_1\) - координаты центра окружности, \(x_2\), \(y_2\) - координаты точки на окружности.

Вставляя значения координат центра окружности и точки на окружности в формулу, мы получаем:
\[r = \sqrt{{(5 - 3)^2 + (-9 - (-2))^2}}\]
\[r = \sqrt{{2^2 + (-7)^2}}\]
\[r = \sqrt{{4 + 49}}\]
\[r = \sqrt{{53}}\]

Теперь мы можем записать уравнение окружности, вставляя значения центра окружности и радиуса в уравнение:
\[(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = (\sqrt{{53}})^2\]
\[(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 53\]

3. Чтобы найти координаты вершины C параллелограмма ABCD, мы можем использовать свойство параллелограмма, гласящее, что диагонали параллелограмма делятся пополам.

Первым шагом мы найдем середину отрезка AB. Для этого используем формулу для нахождения середины отрезка:
\[x_c = \frac{{x_1 + x_2}}{2}\]
\[y_c = \frac{{y_1 + y_2}}{2}\]
где \(x_c\), \(y_c\) - координаты середины отрезка, \(x_1\), \(y_1\) - координаты первой точки, \(x_2\), \(y_2\) - координаты второй точки.

Вставляя значения координат точек A и B в формулу, мы получаем:
\[x_c = \frac{{-3 + (-1)}}{2}\]
\[x_c = \frac{{-4}}{2}\]
\[x_c = -2\]

\[y_c = \frac{{3 + 4}}{2}\]
\[y_c = \frac{{7}}{2}\]
\[y_c = 3,5\]

Таким образом, середина отрезка AB составляет координаты (-2; 3,5).

Теперь мы можем использовать свойство параллелограмма и сказать, что середина отрезка CD будет иметь такие же координаты, как середина отрезка AB. То есть, координаты вершины C будут (-2; 3,5).

4. Чтобы написать уравнение прямой, проходящей через точки D (3; -4) и B (5; 8), мы можем использовать уравнение прямой вида:
\[(y - y_1) = m(x - x_1)\]
где \(m\) - наклон прямой, \(x_1\), \(y_1\) - координаты точки, через которую проходит прямая.

Для начала, вычислим наклон прямой \(m\) по формуле:
\[m = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]
где \(x_1\), \(y_1\) - координаты первой точки, \(x_2\), \(y_2\) - координаты второй точки.

Вставляя значения координат точек D и B в формулу, мы получаем:
\[m = \frac{{8 - (-4)}}{{5 - 3}}\]
\[m = \frac{{12}}{{2}}\]
\[m = 6\]

Теперь используем значения координат точки D и наклон \(m\) в уравнении прямой:
\[(y - (-4)) = 6(x - 3)\]
\[(y + 4) = 6(x - 3)\]
\[y + 4 = 6x - 18\]
\[y = 6x - 22\]

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки D (3; -4) и B (5; 8), имеет вид \(y = 6x - 22\).

5. Чтобы найти координаты точки, которая принадлежит оси абсцисс и находится на одинаковом расстоянии от точек D (1; 10) и K (7; 8), мы можем использовать свойство симметричности. Поскольку точка должна находиться на оси абсцисс, ее ордината будет равной 0.

Мы знаем, что точка находится на одинаковом расстоянии от точек D (1; 10) и K (7; 8). Чтобы найти координату абсциссы этой точки, мы можем использовать среднее арифметическое значения абсцисс точек D и K. Формула имеет вид:
\[x_s = \frac{{x_1 + x_2}}{2}\]
\[y_s = 0\]
где \(x_s\), \(y_s\) - координаты точки, \(x_1\), \(y_1\) - координаты первой точки, \(x_2\), \(y_2\) - координаты второй точки.

Вставляя значения координат точек D и K в формулу, мы получаем:
\[x_s = \frac{{1 + 7}}{2}\]
\[x_s = \frac{{8}}{2}\]
\[x_s = 4\]

Таким образом, координаты точки, которая принадлежит оси абсцисс и находится на одинаковом расстоянии от точек D (1; 10) и K (7; 8), равны (4; 0).

6. Чтобы написать уравнение прямой, которая параллельна прямой \(y = 3x + 2\), мы знаем, что параллельные прямые имеют одинаковый наклон. Значит, мы можем использовать значение наклона \(m = 3\) в уравнении.

Вычислим угловой коэффициент \(b\) с использованием точки, через которую проходит прямая. Например, пусть точка F (1; 4).

Теперь используем значение наклона \(m\) и точку F (1; 4) в уравнении прямой:
\[y - 4 = 3(x - 1)\]
\[y - 4 = 3x - 3\]
\[y = 3x + 1\]

Таким образом, уравнение прямой, параллельной прямой \(y = 3x + 2\), имеет вид \(y = 3x + 1\).

Это все ответы на задачи.